Введение

Подход к квантовой гравитации с использованием вращений Вика. В теоретической физике, евклидова квантовая гравитация представляет собой вариант квантовой гравитации, стремящийся использовать вращение Вика для описания силы гравитации в рамках принципов квантовой механики.

Ротация вика

В физике вращение Вика, названное в честь Джан Карло Вика, — это метод решения задач динамики в многомерном пространстве, заключающийся в переносе их описания в другое многомерное пространство путем замены одной пространственной координаты на одну временную. Более точно, оно преобразует математическую задачу в пространстве Минковского в связанную задачу в евклидовом пространстве посредством преобразования, заменяющего вещественную переменную на мнимую. Это называется вращением, поскольку при графическом представлении комплексных чисел на плоскости умножение комплексного числа на *i* эквивалентно повороту вектора, представляющего это число, на угол в π/2 радиан вокруг начала координат. Например, вращение Вика можно использовать для установления связи между макроскопическим распространением температуры (например, в ванне) и микроскопическими тепловыми движениями молекул. Если мы попытаемся смоделировать объем ванны, учитывая различные градиенты температуры, нам придется разделить этот объем на бесконечно малые объемы и изучить их взаимодействие. Мы знаем, что эти бесконечно малые объемы фактически соответствуют молекулам воды. Если мы представим все молекулы в ванне одной молекулой, чтобы упростить задачу, эта единственная молекула должна проходить по всем возможным траекториям, которые могут пройти реальные молекулы. Интегральное представление является концептуальным инструментом, используемым для описания движения этой единственной молекулы, а вращение Вика — один из математических инструментов, очень полезных для анализа задач интегрального представления.

Применение в квантовой механике

В некоторой степени аналогичным образом, движение квантового объекта, описанное квантовой механикой, подразумевает, что он может одновременно находиться в разных положениях и иметь разные скорости. Это существенно отличается от движения классического объекта (например, бильярдного шара), поскольку в этом случае можно описать единственный путь с точно определенным положением и скоростью. Квантовый объект не движется из точки А в точку Б по одному конкретному пути, а движется из А в Б по всем возможным путям одновременно. Согласно интегральному представлению Фейнмана в квантовой механике, траектория квантового объекта математически описывается как взвешенное среднее всех этих возможных траекторий. В 1966 году ДеВитт обнаружил явно калибровочно-инвариантный функциональный интегральный алгоритм, который расширил новые правила Фейнмана на все порядки. Привлекательной особенностью этого нового подхода является отсутствие сингулярностей, которые неизбежны в общей теории относительности. Другая практическая проблема общей теории относительности – вычислительная сложность, обусловленная сложностью используемого математического аппарата. Интегралы по траекториям, напротив, применяются в механике с конца девятнадцатого века и хорошо изучены. Более того, интегральный формализм используется как в классической, так и в квантовой физике, поэтому он может послужить хорошей отправной точкой для объединения общей теории относительности и квантовых теорий. Например, квантовомеханическое уравнение Шрёдингера и классическое уравнение теплопроводности связаны преобразованием Вика. Таким образом, соотношение Вика – полезный инструмент для установления связи между классическим и квантовым явлениями. Задача евклидовой квантовой гравитации состоит в использовании преобразования Вика для поиска связи между макроскопическим явлением, гравитацией, и чем-то более микроскопическим.

Более строгое лечение

Евклидова квантовая гравитация — это вик-вращённая версия квантовой гравитации, сформулированная как квантовая теория поля. В этой формулировке используются 4-мерные римановы многообразия вместо псевдоримановых многообразий. Также предполагается, что многообразия компактны, связны и не имеют границы (то есть, не содержат сингулярностей). В соответствии со стандартной квантово-теоретической формулировкой, амплитуда «вакуум-вакуум» записывается как функциональный интеграл по метрическому тензору, который теперь является рассматриваемым квантовым полем, где φ обозначает все поля материи. См. действие Эйнштейна — Гильберта.

Связь с формализмом ADM

Евклидова квантовая гравитация действительно связана с формализмом ADM, используемым в канонической квантовой гравитации, и восстанавливает уравнение Уиллера — ДеВитта при различных обстоятельствах. Если у нас есть некоторое поле материи, то интеграл по траекториям выглядит следующим образом:

где интегрирование по включает в себя интегрирование по трехмерной метрике, функции времени и векторному полю сдвига. Однако мы требуем, чтобы была независима от функции времени и векторного поля сдвига на границах, поэтому мы получаем:

где – трехмерная граница. Заметим, что если это выражение равно нулю, то и функциональная производная равна нулю, что приводит к уравнению Уиллера — ДеВитта. Аналогичное утверждение можно сделать и для ограничения диффеоморфизма (в этом случае возьмите функциональную производную по функциям сдвига).