Кіріспе
Математикада Вольтерра функциясы, Вито Вольтерраның құрметіне аталған, нақты сандар түзуі R-де анықталған және келесі ерекше қасиеттер жиынтығына ие нақты мәнді V функциясы болып табылады:
V функциясы барлық жерде туындыланады.
V′ туындысы барлық жерде шектеулі.
Туындысы Риман интегралдана алмайды.
The derivative V ′ is bounded everywhere
The derivative is not Riemann integrable.
Анықтама және құрылымы
Функция Смит-Вольтерра-Кантор жиынын және for және V арқылы анықталған функцияның "көшірмелерін" пайдалану арқылы анықталады. V құрылымы [0, 1/8] аралығында f ′(x) = 0 теңдігі орындалатын x-тің ең үлкен мәнін табудан басталады. Бұл мән (x0 делік) анықталғаннан кейін, функция оң жаққа f(x0) тұрақты мәнімен 1/8 нүктесіне дейін кеңейтіледі. Бұл орындалғаннан кейін, функцияның айнасы 1/4 нүктесінен басталып, 0-ға қарай төмен қарай созылады. Бұл функция [0, 1/4] аралығынан тыс жерде 0 деп анықталады. Содан кейін бұл функция [3/8, 5/8] аралығына жылжытылады, нәтижесінде f1 деп аталатын функция Смит-Вольтерра-Кантор жиынының толықтыруының ортаңғы аралығында ғана нөлден өзгеше болады. f2 құрастыру үшін f′-ді кішірек [0,1/32] аралығында қарастырады, туынды соңғы рет нөлге тең болатын жерде қысқартады, кеңейтеді және бұрынғыдай айналдырады, содан кейін f1 функциясына екі жылжытылған көшірме қосылып f2 функциясы шығарылады. Вольтерра функциясы Смит-Вольтерра-Кантор жиынының құрылымында алынып тасталған әрбір аралық үшін осы процедураны қайталау арқылы алынады; яғни, V функциясы f1, f2 функциялары тізбегінің лиміті болып табылады.
Қосымша қасиеттері
Вольтерра функциясы f (жоғарыда анықталғандай) сияқты, кез келген жерде дифференциалданады. f ′(x) = 2x sin(1/x) cos(1/x) x ≠ 0 үшін екенін көрсетуге болады, яғни кез келген нөлдің маңында f ′ 1 және -1 мәндерін қабылдайтын нүктелер бар. Осылайша, Смит-Вольтерра-Кантор жиынының құрылымында алынып тасталған интервалдардың әрбір соңғы нүктесінің кез келген маңында V′ 1 және -1 мәндерін қабылдайтын нүктелер бар. Шындығында, V′ S жиынының әрбір нүктесінде үздіксіз емес, тіпті V-нің өзі S жиынының әрбір нүктесінде дифференциалданатын болса да, туындысы 0-ге тең. Дегенмен, V′ S жиынының құрылымында алынып тасталған әрбір интервалда үздіксіз болады, сондықтан V′ үздіксіздіктер жиыны S-ке тең. Смит-Вольтерра-Кантор жиыны S оң Лебег өлшеміне ие болғандықтан, бұл V′ оң өлшемді жиында үздіксіз емес екенін білдіреді. Лебегтің Риман интегралдану критерийы бойынша V′ Риман интегралдана алмайды. Егер Вольтерра функциясын "қалың" (оң өлшемді) Кантор жиыны S орнына, 0 өлшемді Кантор жиыны C арқылы қайта жасасақ, көптеген ұқсас қасиеттері бар функция алынар еді, бірақ туындысы оң өлшемді жиын S орнына 0 өлшемді жиын C-де үздіксіз болар еді, сондықтан алынған функцияның Риман интегралданатын туындысы болар еді.
Since the Smith–Volterra–Cantor set S has positive Lebesgue measure, this means that V ′ is discontinuous on a set of positive measure. By Lebesgue's criterion for Riemann integrability, V ′ is not Riemann integrable. If one were to repeat the construction of Volterra's function with the ordinary measure 0 Cantor set C in place of the "fat" (positive measure) Cantor set S, one would obtain a function with many similar properties, but the derivative would then be discontinuous on the measure 0 set C instead of the positive measure set S, and so the resulting function would have a Riemann integrable derivative.