Введение

В математике функция Вольтерры, названная в честь Вито Вольтерры, — это вещественнозначная функция V, определенная на вещественной прямой R, обладающая следующей примечательной комбинацией свойств:

V дифференцируема всюду,
Её производная V′ ограничена всюду,
Производная не является интегрируемой по Риману.

Определение и конструкция

Функция определяется с использованием множества Смита — Вольтерры — Кантора и "копий" функции, определенной для и . Конструкция V начинается с определения наибольшего значения x в интервале [0, 1/8], для которого f'(x) = 0. После определения этого значения (скажем, x0), функция расширяется вправо постоянным значением f(x0) до и включая точку 1/8. После этого можно создать зеркальное отражение функции, начиная с точки 1/4 и простираясь вниз к 0. Эта функция будет определена как 0 вне интервала [0, 1/4]. Затем эта функция переносится в интервал [3/8, 5/8], так что полученная функция, которую мы называем f1, отлична от нуля только на среднем интервале дополнения множества Смита — Вольтерры — Кантора. Для построения f2 производная f' рассматривается на меньшем интервале [0, 1/32], обрезается в последней точке, где производная равна нулю, расширяется и зеркально отражается так же, как и раньше, и две перенесенные копии полученной функции добавляются к f1 для получения функции f2. Функция Вольтерры затем получается путем повторения этой процедуры для каждого интервала, удаленного при построении множества Смита — Вольтерры — Кантора; другими словами, функция V является пределом последовательности функций f1, f2,

Дополнительные свойства

Функция Вольтерры дифференцируема везде, как и f (как определено выше). Можно показать, что f ′(x) = 2x sin(1/x) cos(1/x) для x ≠ 0, что означает, что в любой окрестности нуля существуют точки, где f ′ принимает значения 1 и -1. Следовательно, существуют точки, где V ′ принимает значения 1 и −1 в каждой окрестности каждой из конечных точек интервалов, удаленных при построении множества Смита — Вольтерры — Кантора S. Фактически, V ′ разрывна в каждой точке S, хотя сама V дифференцируема в каждой точке S, с производной 0. Однако V ′ непрерывна на каждом интервале, удаленном при построении S, поэтому множество точек разрыва V ′ равно S. Поскольку множество Смита — Вольтерры — Кантора S имеет положительную меру Лебега, это означает, что V ′ разрывна на множестве положительной меры. По критерию Лебега для интеграбельности по Риману, V ′ не является интегрируемой по Риману. Если бы повторить построение функции Вольтерры с обычным канторовым множеством C меры 0 вместо "толстого" (положительной меры) канторова множества S, то получилась бы функция со многими схожими свойствами, но производная была бы разрывна на множестве C меры 0 вместо множества S положительной меры, и, следовательно, полученная функция имела бы производную, интегрируемую по Риману.