Кіріспе

Алгебралық өрістің кеңейтілуі

Абстракт алгебрада, қалыпты кеңейтім – бұл алгебралық өрістің L/K кеңейтілуі, онда K үстінен азайтылмайтын кез келген көпмүше, L-де түбірі болса, L-де сызықтық факторларға толық бөлінеді. Бұл алгебралық кеңейтімнің Галуа кеңейтімі болуының шарттарының бірі. Бурбаки мұндай кеңейтімді квази-Галуа кеңейтімі деп атайды. Шектеулі кеңейтімдер үшін қалыпты кеңейтім бөліну өрісімен сәйкес келеді.

Анықтама

Алгебралық кеңейту болсын (яғни, L – K-нің алгебралық кеңейтуі), сондай-ақ (яғни, L – K-нің алгебралық жабылуына кіреді). Онда келесі шарттар, олардың кез келгенін нормаль кеңейтудің анықтамасы ретінде қарастыруға болады, эквивалентті: L-ді K үстінен ендіру L-дің автоморфизмін тудырады. L – K-дегі көпмүшелер жинағының бөлу өрісі. L-де түбірі бар кез келген иррационалды көпмүше L-де сызықтық факторларға толық бөлінеді.

Басқа қасиеттері

Егер L – K өрісінің кеңейтілмесі болса: егер L – K-нің қалыпты кеңейтілмесі болса және E – аралық кеңейтілме болса (яғни L ⊇ E ⊇ K), онда L – E-нің қалыпты кеңейтілмесі. Егер E және F – L-де орналасқан K-нің қалыпты кеңейтілмелері болса, онда EF және E ∩ F композиттері де K-нің қалыпты кеңейтілмелері болады.

Қалыпты жабылу

Егер K өріс болса және L K-нің алгебралық кеңейтімі болса, онда L-нің алгебралық кеңейтімі M бар, осылайша M K-нің қалыпты кеңейтімі болады. Сонымен қатар, изоморфизмге дейін мұндай кеңейтімдердің тек біреуі ғана бар, ол минималды, яғни L-ні қамтитын және K-нің қалыпты кеңейтімі болатын M-нің жалғыз субөрісі – M-нің өзі. Бұл кеңейтім K-нің L кеңейтімінің қалыпты жабылуы деп аталады. Егер L K-нің шекті кеңейтімі болса, онда оның қалыпты жабылуы да шекті кеңейтім болады.