Введение

Расширение алгебраического поля

В абстрактной алгебре нормальным расширением называется алгебраическое расширение поля L/K, для которого каждый неприводимый многочлен над K, имеющий корень в L, распадается на линейные множители в L. Это одно из условий, необходимых для того, чтобы алгебраическое расширение было расширением Галуа. Бурбаки называет такое расширение квази-Галуа. Для конечных расширений нормальное расширение совпадает с полем расщепления.

Определение

Пусть L — алгебраическое расширение поля K (то есть, L является алгебраическим расширением K), такое, что L содержится в алгебраическом замыкании K. Тогда следующие условия, любое из которых можно рассматривать как определение нормального расширения, эквивалентны:

Любое вложение L в алгебраическое замыкание K над K индуцирует автоморфизм L.

L является полем расщепления некоторого семейства многочленов над K.

Любой неприводимый многочлен над K, имеющий корень в L, расщепляется на линейные множители в L.

Другие свойства

Пусть L является расширением поля K. Тогда:

Если L является нормальным расширением поля K и E является промежуточным расширением (то есть, L ⊇ E ⊇ K), то L является нормальным расширением поля E.
Если E и F являются нормальными расширениями поля K, содержащимися в L, то композиция EF и пересечение E ∩ F также являются нормальными расширениями поля K.

Нормальное закрытие

Если K – поле, а L – алгебраическое расширение K, то существует алгебраическое расширение M поля L, такое что M является нормальным расширением K. Более того, с точностью до изоморфизма существует только одно такое минимальное расширение, то есть единственное подполе M, содержащее L и являющееся нормальным расширением K, – это само M. Это расширение называется нормальным замыканием расширения L поля K. Если L – конечное расширение K, то его нормальное замыкание также является конечным расширением.