Кіріспе

Риманн көптүрлілігіндегі геодезиялық сегменттердің ұзындығын Риччи қисықтығымен шектеу. Майерс теоремасы, сондай-ақ Бонетт-Майерс теоремасы деп аталатын бұл теорема, Риманн геометриясының математикалық саласындағы белгілі және маңызды теорема болып табылады. Оны 1941 жылы Самнер Байрон Майерс ашқан. Теорема мынаны күйеді:

Беттердің ерекше жағдайында бұл нәтижені 1855 жылы Оссиан Бонет дәлелдеген. Бет үшін Гаусс, қима және Риччи қисықтықтары бірдей, бірақ Бонеттің дәлелі қима қисықтығының оң төменгі шегі болған жағдайда жоғары өлшемдерге оңай жалпыланады. Сондықтан Майерстің маңызды үлесі – Ricci қисықтығының төменгі шегі бірдей қорытындыға жету үшін жеткілікті екенін көрсету болды.

Қорытындылар

Теореманың қорытындысы, атап айтқанда, диаметрі шекті екенін көрсетеді. Сондықтан Хопф-Риноу теоремасы, кез келген жанама кеңістіктегі радиустың жабық (демек, компактты) шар экспоненциалдық бейнелеу арқылы барлық кеңістікке көшіріледі, осылайша компактты болуы керек екенін білдіреді. Бұл ерекше жағдай ретінде, толық және тығыз емес, тегіс Риманн көптігі Эйнштейн болса, онда оның Эйнштейн тұрақтысы оң емес болуы керек екенін көрсетеді. Енді тегіс жалпы жапқыш бейнелеуді қарастырайық. кеңістігінде π^*g Риманн метрикасын қарастыруға болады. π жергілікті диффеоморфизм болғандықтан, Майерс теоремасы (N, π^*g) Риманн көптігіне қолданылады, демек, N компактты. Бұл, кеңістіктің негізгі тобы шекті екенін білдіреді.

Ченгтің диаметрлік қаттылық теоремасы

Майерс теоремасының қорытындысы кез келген үшін мынаны айтады: 1975 жылы Шиу Юэн Ченг дәлелдеді: