Введение

Ограничивает длину геодезических сегментов в римановых многообразиях на основе кривизны Риччи. Теорема Майерса, также известная как теорема Бонне — Майерса, является знаменитой фундаментальной теоремой в математической области римановой геометрии. Она была открыта Самнёром Байроном Майерсом в 1941 году. Она утверждает следующее:

В частном случае поверхностей этот результат был доказан Оссианом Бонне в 1855 году. Для поверхности кривизны Гаусса, сечения и Риччи совпадают, но доказательство Бонне легко обобщается на более высокие размерности, если предположить положительную нижнюю границу для кривизны сечения. Ключевым вкладом Майерса, таким образом, было показать, что для достижения того же вывода достаточно нижней границы кривизны Риччи.

Королярии

Заключение теоремы говорит, в частности, что диаметр конечен. Следовательно, теорема Хопфа — Риноу подразумевает, что многообразие должно быть компактным, поскольку замкнутый (и, следовательно, компактный) шар радиуса в любом касательном пространстве отображается экспоненциальным отображением на всё многообразие. В качестве частного случая это показывает, что любое полное и некомпактное гладкое риманово многообразие, являющееся эйнштейновым, должно иметь неположительную эйнштейнову постоянную. Рассмотрим гладкое универсальное накрытие. Можно рассмотреть риманову метрику π^*g на пространстве накрытия. Поскольку π — локальный диффеоморфизм, к риманову многообразию (N, π^*g) применима теорема Майерса, и, следовательно, N компактно. Это подразумевает, что фундаментальная группа является конечной.

Теорема жесткости диаметра Ченга

Заключение теоремы Майерса утверждает, что для любого числа α существует такое число C, что для любого x > 1 выполняется ln(x) < C√x. В 1975 году Шиу Юен Ченг доказал: