Кіріспе
Геометрияда түзу сызық, көбінесе сызық деп қысқартылатын, ені, тереңдігі және қисықтығы жоқ, шексіз ұзын нысан. Бұл сызық сызықталған жиек, тартылған жіп немесе жарық сәулесі сияқты физикалық нысандардың идеализациясы болып табылады. Сызықтар – бір өлшемді кеңістіктер, олар екі, үш немесе одан да жоғары өлшемді кеңістіктерге орналастырылуы мүмкін. Күнделікті өмірде "сызық" сөзі екі нүктемен (оның ұштарымен) шектелген сызық сегментін де білдіруі мүмкін. Евклидтің "Элементтері" түзу сызықты "енсіз ұзындық" деп анықтайды, ол "өзіндегі нүктелерге қатысты бірқалыпты жатады", сондай-ақ геометрияның қалған бөлігі негізделген негізгі, дәлелденбейтін қасиеттер ретінде бірнеше постулаттарды енгізді. Евклидтік түзу және Евклидтік геометрия терминдері 19 ғасырдың соңынан бері енгізілген жалпыламалармен шатасуды болдырмау үшін қолданылады, мысалы, Евклидтік емес, проективтік және аффиндік геометрия.
In geometry, a straight line, usually abbreviated line, is an infinitely long object with no width, depth, or curvature, an idealization of such physical objects as a straightedge, a taut string, or a ray of light. Lines are spaces of dimension one, which may be embedded in spaces of dimension two, three, or higher. The word line may also refer, in everyday life, to a line segment, which is a part of a line delimited by two points (its endpoints). Euclid's Elements defines a straight line as a "breadthless length" that "lies evenly with respect to the points on itself", and introduced several postulates as basic unprovable properties on which the rest of geometry was established. Euclidean line and Euclidean geometry are terms introduced to avoid confusion with generalizations introduced since the end of the 19th century, such as non Euclidean, projective, and affine geometry.
Қасиеттері
Евклидтің "Элементтерінің" грек дедуктивті геометриясында жалпы сызық (қазір қисық деп аталады) "ені жоқ ұзындық" ретінде анықталады, ал тура сызық (қазір сызық сегменті деп аталады) "өзіндегі нүктелермен тегіс жатқан" сызық ретінде анықталады. Бұл анықтамалар оқырманның физикалық сезіміне сүйенеді, өзі анықталмаған ұғымдарды қолданады және мәтіннің қалған бөлігінде тікелей еске алынбайды. Қазіргі геометрияда түзу көбінесе аксиомалармен берілген қасиеттері бар бастапқы ұғым ретінде қарастырылады. Кез келген шекті мөлшердегі түзулер жиыны жазықтықты дөңес көпбұрыштарға (шегі жоқ болуы мүмкін) бөледі; мұндай бөлу түзулердің орналасуы деп аталады.
Аксиоматикалық жүйелерде
Сызық ұғымы геометрияда аксиоматикалық жүйелерде бастапқы ұғым ретінде қарастырылады. Сызық – белгілі бір ұғым болған жағдайларда, координаттық геометриядағыдай, басқа да негізгі идеялар примитивтер ретінде қабылданады. Сызық тұжырымдамасы примитивті болған кезде, сызықтардың қасиеттері олар қанағаттандыруы тиіс аксиомалар арқылы анықталады. Геометрияның аксиоматикалық емес немесе жеңілдетілген аксиоматикалық қарастырылуында бастапқы ұғымның тұжырымдамасы тым абстрактілі болуы мүмкін. Мұндай жағдайда бастапқы ұғымның сипаттамасын немесе ойдағы бейнесін беруге болады, бұл (айтылмаған) аксиомаларға негізделген ұғымды құру үшін негіз болады. Кейбір авторлар мұндай сипаттамаларды осы бейресми стильдегі анықтамалар деп атайды. Бұл нақты анықтамалар емес және мәлімдемелердің формальды дәлелдемелерінде қолданылмайды. Евклидтің «Элементтер» кітабындағы түзудің «анықтамасы» осы санатқа жатады. (Немец математигі Людвиг Отто Гессенің есімімен аталған) – берілген түзуге перпендикуляр түпнұсқадан тартылған түзу сегменті ретінде анықталатын, түзудің нормальды сегментіне негізделген. Бұл сегмент түпнұсқаны түзуге ең жақын нүктемен біріктіреді. Жазықтықтағы түзудің нормальды теңдеуінің түрі мынадай:
where is the angle of inclination of the normal segment (the oriented angle from the unit vector of the x axis to this segment), and p is the (positive) length of the normal segment. The normal form can be derived from the standard form by dividing all of the coefficients by
Unlike the slope intercept and intercept forms, this form can represent any line but also requires only two finite parameters, and p, to be specified. If p > 0, then is uniquely defined modulo 2π. On the other hand, if the line is through the origin (1=c = p = 0), one drops the term to compute and , and it follows that is only defined modulo .
мұнда φ – нормальды сегменттің бұрыш коэффициенті (x осьінің бірлік векторынан осы сегментке дейінгі бағытталған бұрыш), ал p – нормальды сегменттің (оң) ұзындығы. Нормальды түрді стандартты түрден барлық коэффициенттерді бөлу арқылы алуға болады. Егер p > 0 болса, онда φ модулі 2π бойынша бірегей түрде анықталады. Екінші жағынан, егер түзу түпнұсқа арқылы өтетін болса (l = c = p = 0), онда φ және l есептеу үшін терминді жояды, және φ тек модулі бойынша ғана анықталады.
where is the angle of inclination of the normal segment (the oriented angle from the unit vector of the x axis to this segment), and p is the (positive) length of the normal segment. The normal form can be derived from the standard form by dividing all of the coefficients by
Unlike the slope intercept and intercept forms, this form can represent any line but also requires only two finite parameters, and p, to be specified. If p > 0, then is uniquely defined modulo 2π. On the other hand, if the line is through the origin (1=c = p = 0), one drops the term to compute and , and it follows that is only defined modulo .
Векторлар
А және В нүктелері арқылы өтетін түзудің векторлық теңдеуі (мұнда λ скаляр болып табылады) берілген. Егер a – OA векторы, ал b – OB векторы болса, онда түзудің теңдеуін былай жазуға болады: A нүктесінен басталатын сәуле λ-ның мәнімен шектелу арқылы сипатталады. λ ≥ 0 болғанда бір сәуле, ал λ ≤ 0 болғанда қарама-қарсы сәуле алынады.
A ray starting at point A is described by limiting λ. One ray is obtained if λ ≥ 0, and the opposite ray comes from λ ≤ 0.
Евклидтік түзудің жалпылаулары
Қазіргі заманғы математикада, геометрияның көптеген түрлерін ескере отырып, түзу ұғымы геометрияның қалай сипатталғанымен тығыз байланысты. Мысалы, аналитикалық геометрияда жазықтықтағы түзу көбінесе берілген сызықтық теңдемені қанағаттандыратын координаталары бар нүктелер жиынтығы ретінде анықталады, бірақ инциденттік геометрия сияқты көбірек абстрактілі жағдайда түзу оған жататын нүктелер жиынтығынан өзгеше, тәуелсіз объект болуы мүмкін. Геометрия аксиомалар жиынтығымен сипатталғанда, түзу ұғымы әдетте анықталмайды (осылайша, бастапқы объект деп аталады). Түзулердің қасиеттері содан кейін оларға қатысты аксиомалар арқылы анықталады. Бұл тәсілдің бір артықшылығы – геометрияны қолданушыларға беретін икемділік. Осылайша, дифференциалдық геометрияда түзу геодезиялық (нүктелер арасындағы ең қысқа жол) ретінде түсіндірілуі мүмкін, ал кейбір проективтік геометрияларда түзу – 2 өлшемді векторлық кеңістік (екі тәуелсіз вектордың барлық сызықтық комбинациялары). Бұл икемділік математикадан тысқары да қолданылады, мысалы, физиктерге жарық сәулесінің траекториясын түзу деп қарастыруға мүмкіндік береді.
Жобалау геометриясы
Көптеген проективті геометрия модельдерінде түзудің бейнеленуі Евклид геометриясында көзделген "түзу сызық" түсінігімен сирек сәйкес келеді. Эллипстік геометрияда осыған типикалық мысал келтіріледі. Бұл кейде А мен В анықтаған түзудегі С нүктелерінің жиынтығы ретінде де түсіндіріледі, мұнда А, В мен С арасында орналаспайды. А және В анықтаған түзудегі, бірақ В нүктесінен басталатын А нүктесінен шығатын сәуледе емес, D нүктесі тағы бір сәулені анықтайды, оның бастапқы нүктесі де А болады. АВ сәулесіне қатысты АD сәулесі қарама-қарсы сәуле деп аталады. Осылайша, екі әртүрлі нүкте, А және В, түзуді және осы түзудің ашық кесінді мен екі сәуле – BC және AD (D нүктесі суретте көрсетілмеген, бірақ AB түзуінде А нүктесінен сол жақта жатыр) араласқан жиынға бөлінетінін айтуға болады. Бұл сәулелер қарама-қарсы емес, себебі олардың бастапқы нүктелері әртүрлі. Евклид геометриясында ортақ нүктесі бар екі сәуле бұрыш жасайды. Сәуленің анықтамасы түзудегі нүктелердің аралық орналасуы түсінігіне байланысты. Соған сәйкес, сәулелер тек осы түсінік бар геометрияларда ғана болады, әдетте Евклид геометриясы немесе реттелген өріс үстіндегі аффиндік геометрия. Ал проективті геометрияда немесе күрделі сандар сияқты реттелмеген өріс үстіндегі геометрияда сәулелер жоқ.
Сызық сегменті
Сызық сегменті – екі әртүрлі нүктемен шектелген және осы нүктелер арасындағы сызықтың барлық нүктелерін қамтитын сызықтың бөлігі. Сызық сегментінің анықталуына қарай, оның екі соңғы нүктесі сегменттің құрамына кіруі де, кірмеуі де мүмкін. Екі немесе одан көп сызық сегменттері сызықтар сияқты параллельдік, қиылысу, немесе қисықтық сияқты қатынастарға ие болуы мүмкін, бірақ сызықтардан өзгеше, олар бір-бірімен қиыспаса немесе түзу бойында жатса, мұндай қатынастардың ешқайсысына да жатпауы мүмкін.
Сандар сызығы
Сандар сызығындағы нүкте нақты санға сәйкес келеді және керісінше. Әдетте, бүтін сандар сызықта тең аралықта орналасады, оң сандар оң жақта, теріс сандар сол жақта болады. Осы ұғымды кеңейте отырып, жорамал сандарды көрсететін жорамал сызықты нөл нүктесінен перпендикуляр түрінде жүргізуге болады. Екі сызық келісіп, комплекс жазықтықты құрайды, ол комплекс сандар жиынының геометриялық бейнесі болып табылады.