Введение

Прямая фигура с нулевой шириной и глубиной.

В геометрии прямая линия, обычно называемая линией, — это бесконечно протяженный объект, не имеющий ширины, глубины или кривизны, и являющийся идеализацией таких физических объектов, как прямая линейка, натянутая нить или луч света. Линии представляют собой одномерные пространства, которые могут быть вложены в пространства двух, трех или более измерений. В повседневной жизни слово «линия» также может относиться к отрезку прямой, который является частью прямой, ограниченной двумя точками (её концами). В «Началах» Евклида прямая линия определяется как «длина без ширины», которая «лежит равномерно относительно точек на себе», и вводятся несколько постулатов как базовые, недоказуемые свойства, на которых строится вся остальная геометрия. Термины «евклидова прямая» и «евклидова геометрия» введены для избежания путаницы с обобщениями, появившимися с конца XIX века, такими как неевклидова, проективная и аффинная геометрия.

Свойства

В греческой дедуктивной геометрии "Начал" Евклида общая линия (ныне называемая кривой) определяется как "длина без ширины", а прямая линия (ныне называемая отрезком) определяется как линия, "лежащая ровно со своими точками". Эти определения апеллируют к физическому опыту читателей, опираясь на термины, которые сами по себе не определены, и в дальнейшем тексте эти определения явно не используются. В современной геометрии линия обычно рассматривается как базовое понятие, свойства которого задаются аксиомами. Любое конечное множество линий разбивает плоскость на выпуклые многоугольники (возможно, неограниченные); такое разбиение известно как расположение линий.

В аксиоматических системах

Понятие линии часто рассматривается в геометрии как примитивное понятие в аксиоматических системах. В тех случаях, когда линия является определенным понятием, как, например, в координатной геометрии, некоторые другие фундаментальные идеи принимаются в качестве примитивных. Когда понятие линии является примитивным, свойства линий определяются аксиомами, которым они должны удовлетворять. В неаксиоматическом или упрощенном аксиоматическом изложении геометрии понятие примитивного понятия может оказаться слишком абстрактным для практического использования. В этом случае можно предложить описание или мысленное представление примитивного понятия, чтобы создать основу для построения этого понятия, которое формально основывается на (неявных) аксиомах. Описания такого рода некоторые авторы могут называть определениями в этом неформальном стиле изложения. Однако это не строгие определения, и их нельзя использовать в формальных доказательствах. "Определение" линии в "Началах" Евклида относится к этой категории. Название данного раздела происходит от имени немецкого математика Людвига Отто Гессе и основано на нормальном отрезке для данной прямой, который определяется как отрезок линии, проведенный из начала координат перпендикулярно к этой прямой. Этот отрезок соединяет начало координат с ближайшей точкой на прямой. Нормальная форма уравнения прямой на плоскости задается следующим образом:

где φ – угол наклона нормального отрезка (ориентированный угол от единичного вектора оси x к этому отрезку), а p – (положительная) длина нормального отрезка. Нормальную форму можно получить из стандартной формы путем деления всех коэффициентов на . В отличие от форм с угловым коэффициентом и отрезков, эта форма может представлять любую прямую, но требует указания всего лишь двух конечных параметров: φ и p. Если p > 0, то φ однозначно определена с точностью до 2π. С другой стороны, если прямая проходит через начало координат (φ = 0 = p = 0), то член с φ отбрасывается при вычислении φ и , и следует, что φ определена только с точностью до π.

Векторы

Векторное уравнение прямой, проходящей через точки A и B, задается выражением (где λ – скаляр). Если a – вектор OA, а b – вектор OB, то уравнение прямой можно записать: Луч, исходящий из точки A, описывается ограничением на λ. Один луч получается при λ ≥ 0, а противоположный – при λ ≤ 0.

Обобщения евклидовой прямой

В современной математике, учитывая множество геометрий, понятие прямой тесно связано со способом описания геометрии. Например, в аналитической геометрии прямая на плоскости часто определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному линейному уравнению, но в более абстрактном контексте, таком как геометрия инцидентности, прямая может быть независимым объектом, отличным от множества точек, лежащих на ней. Когда геометрия описывается набором аксиом, понятие прямой обычно оставляется неопределённым (так называемый примитивный объект). Свойства прямых затем определяются аксиомами, которые к ним относятся. Одним из преимуществ такого подхода является гибкость, которую он предоставляет пользователям геометрии. Таким образом, в дифференциальной геометрии прямая может интерпретироваться как геодезическая (кратчайший путь между точками), а в некоторых проективных геометриях прямая является двумерным векторным пространством (всеми линейными комбинациями двух независимых векторов). Эта гибкость распространяется и за пределы математики, например, позволяя физикам рассматривать траекторию светового луча как прямую.

Проективная геометрия

Во многих моделях проективной геометрии представление прямой редко соответствует понятию "прямой линии", как оно визуализируется в евклидовой геометрии. Типичный пример этого мы видим в эллиптической геометрии. Это также иногда выражается как множество всех точек C на прямой, определяемой точками A и B, таких что точка A не лежит между точками B и C. Точка D, лежащая на прямой, определяемой точками A и B, но не на луче, начинающемся в точке A и проходящем через точку B, определяет другой луч, начинающийся в точке A. Относительно луча AB, луч AD называется противоположным лучом. Таким образом, можно сказать, что две различные точки, A и B, определяют прямую и разложение этой прямой на непересекающееся объединение открытого отрезка и двух лучей, BC и AD (точка D не изображена на диаграмме, но находится слева от точки A на прямой AB). Это не противоположные лучи, так как они имеют разные начальные точки. В евклидовой геометрии два луча с общей начальной точкой образуют угол. Определение луча зависит от понятия порядка точек на прямой. Следовательно, лучи существуют только для геометрий, в которых это понятие определено, как правило, для евклидовой геометрии или аффинной геометрии над упорядоченным полем. С другой стороны, лучи не существуют в проективной геометрии, а также в геометрии над неупорядоченным полем, например, в комплексных числах или любом конечном поле.

Сегмент линии

Отрезок линии — это часть прямой, ограниченная двумя различными конечными точками и содержащая все точки на прямой между этими конечными точками. В зависимости от определения отрезка, каждая из двух конечных точек может как включаться в отрезок, так и не включаться в него. Два или более отрезка могут иметь некоторые из тех же свойств, что и прямые, такие как параллельность, пересечение или скрещивание, но, в отличие от прямых, они могут не обладать ни одним из этих свойств, если они лежат в одной плоскости и либо не пересекаются, либо лежат на одной прямой.

Числовая строка

Точка на числовой прямой соответствует действительному числу и наоборот. Обычно целые числа расположены на прямой с равными интервалами, положительные числа – справа, отрицательные – слева. В качестве расширения этой концепции можно провести воображаемую ось, представляющую мнимые числа, перпендикулярно числовой прямой в точке нуля. Эти две оси образуют комплексную плоскость – геометрическое представление множества комплексных чисел.