Кіріспе
Алгебрадағы түсінік. Абстракт алгебрада бағалау сақинасы – бұл F бөлшектерінің кез келген нөлдік емес элементі x үшін, кем дегенде x немесе x⁻¹ D интегралдық доменіне жататын интегралдық домен.
In abstract algebra, a valuation ring is an integral domain D such that for every non zero element x of its field of fractions F, at least one of x or x−1 belongs to D.
Егер D, F өрісінің субсақинасы болса және F өрісіндегі кез келген нөлдік емес x үшін x немесе x⁻¹ D-ге жатса, онда D сақинасы F өрісі үшін бағалау сақинасы деп аталады немесе F орны. Бұл жағдайда F шын мәнінде D-нің бөлшектерінің өрісі болғандықтан, өріс үшін бағалау сақинасы – бағалау сақинасы болып табылады. F өрісінің бағалау сақиналарын сипаттаудың тағы бір жолы – F өрісінің бағалау сақиналары D, F-ті олардың бөлшектерінің өрісі ретінде қабылдайды, ал олардың идеалдары кіріктіру бойынша толығымен реттелген; немесе эквивалентті түрде, олардың негізгі идеалдары кіріктіру бойынша толығымен реттелген. Атап айтқанда, әрбір бағалау сақинасы – жергілікті сақина болып табылады. Өрістің бағалау сақиналары – өрістегі жергілікті субсақиналар жиынының доминанттылық немесе тазарту бойынша ішінара реттелген максималдық элементтері, мұнда егер және K өрісіндегі әрбір жергілікті сақина K-нің кейбір бағалау сақинасымен басым болса.
D for every nonzero x in F, then D is said to be a valuation ring for the field F or a place of F. Since F in this case is indeed the field of fractions of D, a valuation ring for a field is a valuation ring. Another way to characterize the valuation rings of a field F is that valuation rings D of F have F as their field of fractions, and their ideals are totally ordered by inclusion; or equivalently their principal ideals are totally ordered by inclusion. In particular, every valuation ring is a local ring. The valuation rings of a field are the maximal elements of the set of the local subrings in the field partially ordered by dominance or refinement, where
dominates if and
Every local ring in a field K is dominated by some valuation ring of K.
Кез келген жай идеал бойынша локализациясы бағалау сақинасы болатын интегралдық домен Пруфер домені деп аталады.
Анықтамалар
Бағалау сақинасының бірнеше эквивалентті анықтамасы бар (үстемдік тұрғысынан сипаттама үшін төменде қараңыз). D интегралды домен және оның бөлшектер өрісі K болса, келесі шарттар эквивалентті: K-дегі кез келген нөлдік емес x үшін, кем дегенде x немесе x−1 D-де болады. D идеалдары кіріктіру арқылы толығымен реттелген. D-нің негізгі идеалдары кіріктіру бойынша толығымен реттелген (яғни, D элементтері бірліктерге дейін толығымен бөлінушілік бойынша реттелген). Бұл жерде толығымен реттелген Абель тобы Γ (құн тобы деп аталады) және бағалау ν: K → Γ ∪ {∞} бар, мұнда D = { x ∈ K | ν(x) ≥ 0 }. Алғашқы үш анықтаманың эквиваленттігі оңай көрінеді. Теорема бойынша, алғашқы үш шартты қанағаттандыратын кез келген сақина төртінші шартты да қанағаттандырады: Γ-ны K-нің бірлік тобының D-нің бірлік тобына қатысты K×/D× бөлігі деп қабылдаңыз, ал ν-ді табиғи проекция деп қабылдаңыз. Біз Γ элементтерінің қалдық кластарын «оң» деп жариялап, оны толығымен реттелген топқа айналдыра аламыз. Сонымен қатар, кез келген толығымен реттелген Абель тобы Γ берілген болса, онда Γ құн тобы бар D бағалау сақинасы бар (Хайн қатарларын қараңыз). Бағалау сақинасының идеалдары толығымен реттелгендіктен, бағалау сақинасы жергілікті домен болып табылады және бағалау сақинасының әрбір шекті түрде жасалған идеалы негізгі болып табылады (яғни, бағалау сақинасы Безу домені). Шындығында, Крулл теоремасы бойынша интегралды домен бағалау сақинасы болып табылады, егер және тек қана ол жергілікті Безу домені болса. Сондай-ақ, бағалау сақинасы Нотерлік болып табылады, егер және тек қана ол негізгі идеалдық домен болса. Бұл жағдайда ол өріс немесе дәл бір нөлдік емес негізгі идеалға ие; соңғы жағдайда ол дискретті бағалау сақинасы деп аталады. (Әдет бойынша, өріс дискретті бағалау сақинасы емес.) Құн тобы дискретті деп аталады, егер ол бүтін сандардың қосымша тобына изоморфты болса, ал бағалау сақинасы дискретті бағалау тобына ие, егер және тек қана ол дискретті бағалау сақинасы болса. Сирек жағдайларда, бағалау сақинасы екінші немесе үшінші шартты қанағаттандыратын сақинаны білдіруі мүмкін, бірақ міндетті түрде домен емес. Мұндай сақиналардың жиі қолданылатын атауы – унисериалды сақина.
For every non zero x in K, at least one of x or x−1 is in D.
The ideals of D are totally ordered by inclusion. The principal ideals of D are totally ordered by inclusion (i. e. the elements in D are, up to units, totally ordered by divisibility.) There is a totally ordered abelian group Γ (called the value group) and a valuation ν: K → Γ ∪ {∞} with D = { x ∈ K | ν(x) ≥ 0 }. The equivalence of the first three definitions follows easily. A theorem of states that any ring satisfying the first three conditions satisfies the fourth: take Γ to be the quotient K×/D× of the unit group of K by the unit group of D, and take ν to be the natural projection. We can turn Γ into a totally ordered group by declaring the residue classes of elements of D as "positive". Even further, given any totally ordered abelian group Γ, there is a valuation ring D with value group Γ (see Hahn series). From the fact that the ideals of a valuation ring are totally ordered, one can conclude that a valuation ring is a local domain, and that every finitely generated ideal of a valuation ring is principal (i. e., a valuation ring is a Bézout domain). In fact, it is a theorem of Krull that an integral domain is a valuation ring if and only if it is a local Bézout domain. It also follows from this that a valuation ring is Noetherian if and only if it is a principal ideal domain. In this case, it is either a field or it has exactly one non zero prime ideal; in the latter case it is called a discrete valuation ring. (By convention, a field is not a discrete valuation ring.) A value group is called discrete if it is isomorphic to the additive group of the integers, and a valuation ring has a discrete valuation group if and only if it is a discrete valuation ring. Very rarely, valuation ring may refer to a ring that satisfies the second or third condition but is not necessarily a domain. A more common term for this type of ring is uniserial ring.
Үстемдік және толық жабылу
Бағалау сақинасының бірліктері немесе инверттелетін элементтері – D-дегі x элементтері, мұнда x⁻¹ де D-нің мүшесі болады. D-нің басқа элементтері – бірлік емес элементтер – D-де инверті жоқ, және олар M идеал құрайды. Бұл идеал D-нің (толық реттелген) идеалдары арасында максимал болып табылады. M максимал идеал болғандықтан, D/M коэффициенттік сақинасы – D-нің қалдық өрісі деп аталатын өріс. Жалпы, жергілікті сақинаның басқа жергілікті сақинаға үстемдік ететінін айтамыз, егер және ; яғни, кіріктіру – жергілікті сақина гомоморфизмі. K өрісіндегі әрбір жергілікті сақина K-нің кейбір бағалау сақинасымен үстемдік етеді. Шындығында, A-ны қамтитын K-нің барлық R субсақиналарынан тұратын жиын бос емес және индуктивті; демек, Зорн леммасы бойынша максимал элементі бар. R-дің бағалау сақинасы екенін алға тартамыз. R – максималды идеалды қамтитын максимал жергілікті сақина. Максималдық бойынша, ол толық жабық та болады. Егер , онда максималдық бойынша, және осылайша біз былай жаза аламыз: Бірлік элемент болғандықтан, бұл R үстінен интегралды екенін білдіреді; демек, ол R-де жатыр. Осылайша R бағалау сақинасы екенін дәлелдедік. (R, құрылымы бойынша максималды идеалы A-ны қамтитындықтан, A-ға үстемдік етеді.) K өрісіндегі R жергілікті сақинасы бағалау сақинасы болып табылады, егер және тек қана егер ол K-дегі барлық жергілікті сақиналар жиынының үстемдік бойынша ішінара реттелген ең үлкен мүшесі болса. Бұл жоғарыда айтылғаннан оңай көрінеді. A – K өрісінің кіші сақинасы болсын, ал f – алгебралық жабық k өрісіне сақиналық гомоморфизм болсын. Онда f сақиналық гомоморфизмге дейін кеңейтіледі, D – A-ны қамтитын K-нің кейбір бағалау сақинасы. (Дәлел: Зорн леммасы бойынша анық болатын максималды кеңейтуді қарастырайық. Максималдық бойынша, R – f ядросын қамтитын максималды идеалға ие жергілікті сақина. Егер S – R-ге үстемдік ететін жергілікті сақина болса, онда S, R-ге алгебралық; әйтпесе, g-ге кеңейтілетін полиномдық сақина бар, бұл максималдыққа қайшы келеді. Осыдан S – алгебралық кеңейтім екені шығады. Сондықтан g-ні кеңейтеді; демек, S = R.)
In general, we say a local ring dominates a local ring if and ; in other words, the inclusion is a local ring homomorphism. Every local ring in a field K is dominated by some valuation ring of K. Indeed, the set consisting of all subrings R of K containing A and is nonempty and is inductive; thus, has a maximal element by Zorn's lemma. We claim R is a valuation ring. R is a local ring with maximal ideal containing by maximality. Again by maximality it is also integrally closed. Now, if , then, by maximality, and thus we can write:
Since is a unit element, this implies that is integral over R; thus is in R. This proves R is a valuation ring. (R dominates A since its maximal ideal contains by construction.) A local ring R in a field K is a valuation ring if and only if it is a maximal element of the set of all local rings contained in K partially ordered by dominance. This easily follows from the above. Let A be a subring of a field K and a ring homomorphism into an algebraically closed field k. Then f extends to a ring homomorphism , D some valuation ring of K containing A. (Proof: Let be a maximal extension, which clearly exists by Zorn's lemma. By maximality, R is a local ring with maximal ideal containing the kernel of f. If S is a local ring dominating R, then S is algebraic over R; if not, contains a polynomial ring to which g extends, a contradiction to maximality. It follows is an algebraic field extension of Thus, extends g; hence, S = R.)
If a subring R of a field K contains a valuation ring D of K, then, by checking Definition 1, R is also a valuation ring of K. In particular, R is local and its maximal ideal contracts to some prime ideal of D, say, Then since dominates , which is a valuation ring since the ideals are totally ordered. This observation is subsumed to the following: there is a bijective correspondence the set of all subrings of K containing D. In particular, D is integrally closed, and the Krull dimension of D is the number of proper subrings of K containing D.
In fact, the integral closure of an integral domain A in the field of fractions K of A is the intersection of all valuation rings of K containing A. Indeed, the integral closure is contained in the intersection since the valuation rings are integrally closed. Conversely, let x be in K but not integral over A. Since the ideal is not , it is contained in a maximal ideal Then there is a valuation ring R that dominates the localization of at Since ,
The dominance is used in algebraic geometry. Let X be an algebraic variety over a field k. Then we say a valuation ring R in has "center x on X" if dominates the local ring of the structure sheaf at x.
Егер K өрісінің кіші сақинасы R, K-нің бағалау сақинасы D-ні қамтитын болса, онда 1-дефиницияны тексеру арқылы R де K-нің бағалау сақинасы болады. Атап айтқанда, R жергілікті және оның максималды идеалы D-нің кейбір жай идеалына сәйкес келеді, мысалы, онда үстемдік бар, идеалдар толық реттелгендіктен бұл бағалау сақинасы. Бұл байқау келесіге жатады: K-нің барлық D-ні қамтитын кіші сақиналарының жиынымен біржақты сәйкестік бар. Атап айтқанда, D интегралды түрде жабық, ал D-нің Крулл өлшемі – D-ні қамтитын K-нің барлық кіші сақиналарының саны. Шындығында, A интегралды доменінің K бөлшектері саласындағы интегралды жабылуы – A-ны қамтитын K-нің барлық бағалау сақиналарының қиылысы. Шындығында, интегралды жабылу қиылыста қамтылған, өйткені бағалау сақиналары интегралды түрде жабық. Керісінше, x, K-да болсын, бірақ A үстінен интегралды болмасын. Идеал бос емес болғандықтан, ол максималды идеалға кіреді. Сонда R бағалау сақинасы болады, ол идеалдың локализациясына үстемдік етеді. , үстемдік болғандықтан,
In general, we say a local ring dominates a local ring if and ; in other words, the inclusion is a local ring homomorphism. Every local ring in a field K is dominated by some valuation ring of K. Indeed, the set consisting of all subrings R of K containing A and is nonempty and is inductive; thus, has a maximal element by Zorn's lemma. We claim R is a valuation ring. R is a local ring with maximal ideal containing by maximality. Again by maximality it is also integrally closed. Now, if , then, by maximality, and thus we can write:
Since is a unit element, this implies that is integral over R; thus is in R. This proves R is a valuation ring. (R dominates A since its maximal ideal contains by construction.) A local ring R in a field K is a valuation ring if and only if it is a maximal element of the set of all local rings contained in K partially ordered by dominance. This easily follows from the above. Let A be a subring of a field K and a ring homomorphism into an algebraically closed field k. Then f extends to a ring homomorphism , D some valuation ring of K containing A. (Proof: Let be a maximal extension, which clearly exists by Zorn's lemma. By maximality, R is a local ring with maximal ideal containing the kernel of f. If S is a local ring dominating R, then S is algebraic over R; if not, contains a polynomial ring to which g extends, a contradiction to maximality. It follows is an algebraic field extension of Thus, extends g; hence, S = R.)
If a subring R of a field K contains a valuation ring D of K, then, by checking Definition 1, R is also a valuation ring of K. In particular, R is local and its maximal ideal contracts to some prime ideal of D, say, Then since dominates , which is a valuation ring since the ideals are totally ordered. This observation is subsumed to the following: there is a bijective correspondence the set of all subrings of K containing D. In particular, D is integrally closed, and the Krull dimension of D is the number of proper subrings of K containing D.
In fact, the integral closure of an integral domain A in the field of fractions K of A is the intersection of all valuation rings of K containing A. Indeed, the integral closure is contained in the intersection since the valuation rings are integrally closed. Conversely, let x be in K but not integral over A. Since the ideal is not , it is contained in a maximal ideal Then there is a valuation ring R that dominates the localization of at Since ,
The dominance is used in algebraic geometry. Let X be an algebraic variety over a field k. Then we say a valuation ring R in has "center x on X" if dominates the local ring of the structure sheaf at x.
Үстемдік алгебралық геометрияда қолданылады. X – k өрісі үстіндегі алгебралық сан алуандық болсын. Онда R бағалау сақинасының «орталығы X-те x нүктесінде» деп айтамыз, егер ол x нүктесіндегі құрылым шоғының жергілікті сақинасына үстемдік ететін болса.
In general, we say a local ring dominates a local ring if and ; in other words, the inclusion is a local ring homomorphism. Every local ring in a field K is dominated by some valuation ring of K. Indeed, the set consisting of all subrings R of K containing A and is nonempty and is inductive; thus, has a maximal element by Zorn's lemma. We claim R is a valuation ring. R is a local ring with maximal ideal containing by maximality. Again by maximality it is also integrally closed. Now, if , then, by maximality, and thus we can write:
Since is a unit element, this implies that is integral over R; thus is in R. This proves R is a valuation ring. (R dominates A since its maximal ideal contains by construction.) A local ring R in a field K is a valuation ring if and only if it is a maximal element of the set of all local rings contained in K partially ordered by dominance. This easily follows from the above. Let A be a subring of a field K and a ring homomorphism into an algebraically closed field k. Then f extends to a ring homomorphism , D some valuation ring of K containing A. (Proof: Let be a maximal extension, which clearly exists by Zorn's lemma. By maximality, R is a local ring with maximal ideal containing the kernel of f. If S is a local ring dominating R, then S is algebraic over R; if not, contains a polynomial ring to which g extends, a contradiction to maximality. It follows is an algebraic field extension of Thus, extends g; hence, S = R.)
If a subring R of a field K contains a valuation ring D of K, then, by checking Definition 1, R is also a valuation ring of K. In particular, R is local and its maximal ideal contracts to some prime ideal of D, say, Then since dominates , which is a valuation ring since the ideals are totally ordered. This observation is subsumed to the following: there is a bijective correspondence the set of all subrings of K containing D. In particular, D is integrally closed, and the Krull dimension of D is the number of proper subrings of K containing D.
In fact, the integral closure of an integral domain A in the field of fractions K of A is the intersection of all valuation rings of K containing A. Indeed, the integral closure is contained in the intersection since the valuation rings are integrally closed. Conversely, let x be in K but not integral over A. Since the ideal is not , it is contained in a maximal ideal Then there is a valuation ring R that dominates the localization of at Since ,
The dominance is used in algebraic geometry. Let X be an algebraic variety over a field k. Then we say a valuation ring R in has "center x on X" if dominates the local ring of the structure sheaf at x.
Жалпы анықтама
K өрісінің орны – K өрісінің D бағалау шеңберінен қандай да бір өріске дейінгі p сақиналық гомоморфизм, кез келген үшін , осы гомоморфизмнің бейнесі p орнының қалдық өрісі деп аталады. Мысалы, каноникалық бейнелеу – бұл орын.
Мысал
А Дедекинд домені және жартылай идеал болсын. Онда каноникалық бейнелеу – бұл орын.
Орындардың мамандандырылуы
Біз p орны p орнына маманданған деп айтамыз, егер p орнының бағалау сақинасы p орнының бағалау сақинасын қамтыса, бұл жағдайды арнайы белгімен көрсетеміз. Алгебралық геометрияда, егер жай идеал жай идеалға маманданса, онда жай идеал жай идеалға маманданған деп айтамыз. Екі ұғым сәйкес келеді: егер және тек қана егер p орнына сәйкес келетін жай идеал, белгілі бір бағалау сақинасында p орнына сәйкес келетін жай идеалға маманданса (егер бірдей өрістің бағалау сақиналары болса, онда D жай идеалға сәйкес келеді).
Мысал
Мысалы, кейбір алгебралық сан түрлерінің функциялар өрісінде максималды идеалға кіретін әрбір жай идеал бір арнайыландыруға алып келеді.
Ескертпелер
Оны мыналай көрсетуге болады: егер , онда p қалдық өрісінің қандай да бір q орны үшін . (Бұл бағалау сақинасы екенін және q тиісті орын екенін ескеріңіз; қалғаны техникалық есеп). Егер D – p-нің бағалау сақинасы болса, онда оның Крулл өлшемі p-ден басқа p-ге жіберілген маманданулардың саны болып табылады. Осылайша, k өрісі арқылы K өрісінің бағалау сақинасы D болатын кез келген p орны үшін:
Егер p – орын болса және A – p-нің бағалау сақинасының ішкі сақинасы болса, онда A-дағы p орталығы деп аталады.