Введение

Концепция в алгебре
В абстрактной алгебре оценочное кольцо – это интегральная область D, такая, что для каждого ненулевого элемента x её поля дробей F, по крайней мере один из x или x⁻¹ принадлежит D.

Для данного поля F, если D является подкольцом F, таким что либо x, либо x⁻¹ принадлежит D для каждого ненулевого x в F, то D называется оценочным кольцом для поля F или местом в F. Поскольку F в этом случае действительно является полем дробей D, оценочное кольцо для поля является оценочным кольцом. Другой способ характеризовать оценочные кольца поля F заключается в том, что оценочные кольца D поля F имеют F в качестве поля дробей, и их идеалы полностью упорядочены по включению; или, эквивалентно, их главные идеалы полностью упорядочены по включению. В частности, каждое оценочное кольцо является локальным кольцом. Оценочные кольца поля – это максимальные элементы множества локальных подкольцов в поле, частично упорядоченных по доминированию или уточнению, где одно кольцо доминирует над другим, если и Каждое локальное кольцо в поле K доминируется некоторым оценочным кольцом K.

Интегральная область, локализация которой в любом простом идеале является оценочным кольцом, называется областью Пруфера.

Определения

Существует несколько эквивалентных определений оценочного кольца (см. ниже характеристику с точки зрения доминирования). Для интегральной области D и ее поля частных K, следующие утверждения эквивалентны:
Для каждого ненулевого x в K, по крайней мере один из x или x⁻¹ принадлежит D.
Идеалы D полностью упорядочены по включению. Основные идеалы D полностью упорядочены по включению (т.е. элементы в D, с точностью до единиц, полностью упорядочены по делимости). Существует полностью упорядоченная абелева группа Γ (называемая группой значений) и оценка ν: K → Γ ∪ {∞} такая, что D = { x ∈ K | ν(x) ≥ 0 }. Эквивалентность первых трех определений следует легко. Теорема утверждает, что любое кольцо, удовлетворяющее первым трем условиям, удовлетворяет четвертому: нужно взять Γ как факторгруппу K×/D× унитарной группы K по унитарной группе D, а ν как естественную проекцию. Мы можем превратить Γ в полностью упорядоченную группу, объявив классы вычетов элементов D «положительными». Более того, для любой полностью упорядоченной абелевой группы Γ существует оценочное кольцо D с группой значений Γ (см. ряды Хана). Из того факта, что идеалы оценочного кольца полностью упорядочены, можно заключить, что оценочное кольцо является локальной областью, и что каждый конечно порожденный идеал оценочного кольца является основным (т.е. оценочное кольцо является областью Безу). Фактически, это теорема Крулла, что интегральная область является оценочным кольцом тогда и только тогда, когда это локальная область Безу. Из этого также следует, что оценочное кольцо является нётеровым тогда и только тогда, когда это область главных идеалов. В этом случае это либо поле, либо оно имеет ровно один ненулевой простой идеал; в последнем случае оно называется дискретным оценочным кольцом. (По соглашению, поле не является дискретным оценочным кольцом.) Группа значений называется дискретной, если она изоморфна аддитивной группе целых чисел, и оценочное кольцо имеет дискретную группу значений тогда и только тогда, когда это дискретное оценочное кольцо. В редких случаях, «оценочное кольцо» может относиться к кольцу, которое удовлетворяет второму или третьему условию, но не обязательно является областью. Более распространенным термином для этого типа кольца является унисериальное кольцо.

Доминирование и интегральное закрытие

Единицы, или обратимые элементы, оценочного кольца – это элементы x в D, такие что x⁻¹ также является элементом D. Другие элементы D, называемые неединицами, не имеют обратного в D и образуют идеал M. Этот идеал максимален среди (тотально упорядоченных) идеалов D. Поскольку M является максимальным идеалом, факторкольцо D/M является полем, называемым полем вычетов D. В общем случае, мы говорим, что локальное кольцо доминирует над локальным кольцом , если и ; другими словами, включение является локальным гомоморфизмом колец. Каждое локальное кольцо в поле K доминируется некоторым оценочным кольцом K. Действительно, множество, состоящее из всех подколец R поля K, содержащих A, не пусто и индуктивно; таким образом, по лемме Зорна, оно имеет максимальный элемент R. Утверждаем, что R является оценочным кольцом. R – локальное кольцо с максимальным идеалом, содержащим по максимальности. Снова по максимальности, оно также является целостно замкнутым. Теперь, если , то, по максимальности, и, следовательно, мы можем записать: Поскольку является единицей, это означает, что является целым над R; таким образом, оно принадлежит R. Это доказывает, что R является оценочным кольцом. (R доминирует над A, поскольку его максимальный идеал содержит по построению.) Локальное кольцо R в поле K является оценочным кольцом тогда и только тогда, когда оно является максимальным элементом множества всех локальных колец, содержащихся в K, частично упорядоченных по доминированию. Это легко следует из вышесказанного. Пусть A – подкольцо поля K, а f – гомоморфизм колец в алгебраически замкнутое поле k. Тогда f можно расширить до гомоморфизма колец , где D – некоторое оценочное кольцо K, содержащее A. (Доказательство: Пусть будет максимальным расширением, которое явно существует по лемме Зорна. По максимальности, R – локальное кольцо с максимальным идеалом, содержащим ядро f. Если S – локальное кольцо, доминирующее над R, то S алгебраично над R; если нет, то S содержит полиномиальное кольцо , в которое можно расширить g, что противоречит максимальности. Следовательно, является алгебраическим расширением поля, и, таким образом, g можно расширить до S; следовательно, S = R.) Если подкольцо R поля K содержит оценочное кольцо D поля K, то, проверяя Определение 1, R также является оценочным кольцом K. В частности, R локально, и его максимальный идеал сжимается к некоторому простому идеалу D, скажем, . Тогда , поскольку доминирует над , которое является оценочным кольцом, так как идеалы тотально упорядочены. Это наблюдение подчиняется следующему: существует биективное соответствие между множеством всех подколец K, содержащих D. В частности, D целостно замкнуто, а размерность Крулла D равна числу собственных подколец K, содержащих D. Фактически, интегральное замыкание интегральной области A в поле частных K области A является пересечением всех оценочных колец K, содержащих A. Действительно, интегральное замыкание содержится в пересечении, поскольку оценочные кольца целостно замкнуты. И наоборот, пусть x принадлежит K, но не является целым над A. Поскольку идеал не равен нулю, он содержится в некотором максимальном идеале . Тогда существует оценочное кольцо R, доминирующее над локализацией при . Поскольку , доминирование используется в алгебраической геометрии. Пусть X – алгебраическое многообразие над полем k. Тогда мы говорим, что оценочное кольцо R в имеет "центр x на X", если доминирует над локальным кольцом структурного пучка в точке x.

Общее определение

Место поля K — это кольцевой гомоморфизм p из оценочного кольца D поля K в некоторое поле, такой что для любого x ∈ D, p(x) ≠ 0. Образ места является полем, называемым остаточным полем p. Например, каноническое отображение является местом.

Пример

Пусть A — область Дедекинда и 𝔞 — простой идеал. Тогда каноническое отображение является местом.

Специализация мест

Мы говорим, что место p специализируется на месте , обозначаемом , если оценочное кольцо p содержит оценочное кольцо p. В алгебраической геометрии мы говорим, что простой идеал специализируется на , если . Эти два понятия совпадают: простой идеал специализируется на простой идеал тогда и только тогда, когда простой идеал, соответствующий p, специализируется на простой идеал, соответствующий в некотором оценочном кольце (вспомним, что если D и являются оценочными кольцами одного и того же поля, то D соответствует простому идеалу в .)

Пример

Например, в поле функций некоторого алгебраического многообразия каждый простой идеал, содержащийся в максимальном идеале, определяет специализацию.

Замечания

Можно показать: если , то для некоторого места q поля вычетов p. (Отметьте, что является кольцом оценки для p, и пусть q будет соответствующим местом; остальное – техническая деталь). Если D – кольцо оценки для p, то его размерность Крулла – это кардинальность специализаций, отличных от p в p. Таким образом, для любого места p с кольцом оценки D поля K над полем k, имеем:

Если p – место, а A – подкольцо кольца оценки для p, то называется центром p в A.