Математикалық дифференциалдық формалар және интегралдық көптүрліліктер
Integrability conditions for differential systems
Математикада дифференциалдық теңдеулер жүйесі геометриялық және алгебралық құрылымы арқылы дифференциалдық формалармен шешіледі. Пфаффиан жүйелері туралы ақпарат.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, кейбір бөлшектік дифференциалдық теңдеулер жүйелері, олардың жатқандағы геометриялық және алгебралық құрылымы тұрғысынан, дифференциалдық формалар жүйесі арқылы тиімді түрде тұжырымдалады. Бұл идея дифференциалдық форманың кішік көптікке шектелуінен және осы шектеудің сыртқы туындымен сәйкес келуінен пайдалану болып табылады. Бұл, мысалы, интегралданатын жүйелердің Лакс жұптарын қоса алғанда, белгілі бір артық анықталған жүйелерге қолданылатын тәсілдердің бірі. Пфаффиандық жүйе тек 1-формалармен беріледі, бірақ теорияда дифференциалдық жүйенің басқа да түрлері бар. Нақтырақ айтқанда, Пфаффиандық жүйе – тегіс көптік үстіндегі 1-формалар жиыны (жүйеге шешім табу үшін олар нөлге тең етіледі). Дифференциалдық 1-формалар жиыны берілген, өлшемді көптік үшін, интегралдық көптік – суға батып кеткен (қажетті түрде енбеген) кішік көптік, оның кез келген нүктесіндегі жанама кеңістік (кері тартылу арқылы) олардың бәрімен де жойылған. Максималды интегралдық көптік – суға батып кеткен (қажетті түрде енбеген) кішік көптік, сондықтан формалар бойынша шектеу картасының ядросы, көптіктің кез келген нүктесінде олармен керілетін. Егер олар сызықтық тәуелсіз болса, онда өлшемді болады. Пфаффиандық жүйе, егер ол максималды интегралдық көптіктермен жапырақтанса, толық интегралданады деп айтылады. (Жапырақтанған бөліністің тұрақты болуы міндетті емес, яғни жапырақтар кішік көптіктерге енбеуі мүмкін.) Интегралдану шарты – жеткілікті жоғары өлшемді интегралдық кішік көптіктердің болуын қамтамасыз ететін шарт.
In mathematics, certain systems of partial differential equations are usefully formulated, from the point of view of their underlying geometric and algebraic structure, in terms of a system of differential forms. The idea is to take advantage of the way a differential form restricts to a submanifold, and the fact that this restriction is compatible with the exterior derivative. This is one possible approach to certain over determined systems, for example, including Lax pairs of integrable systems. A Pfaffian system is specified by 1 forms alone, but the theory includes other types of example of differential system. To elaborate, a Pfaffian system is a set of 1 forms on a smooth manifold (which one sets equal to 0 to find solutions to the system). Given a collection of differential 1 forms on an dimensional manifold , an integral manifold is an immersed (not necessarily embedded) submanifold whose tangent space at every point is annihilated by (the pullback of) each
A maximal integral manifold is an immersed (not necessarily embedded) submanifold
such that the kernel of the restriction map on forms
is spanned by the at every point of If in addition the are linearly independent, then is dimensional. A Pfaffian system is said to be completely integrable if admits a foliation by maximal integral manifolds. (Note that the foliation need not be regular; i. e. the leaves of the foliation might not be embedded submanifolds.) An integrability condition is a condition on the to guarantee that there will be integral submanifolds of sufficiently high dimension.
Қажетті және жеткілікті шарттар
Пфаффиандық жүйенің толық интеграциялануы үшін қажетті және жеткілікті шарттар Фробень теоремасымен берілген. Бір түрінде, егер αi жиынымен алгебралық түрде туындаған идеал, Ω(M) сақинасының ішінде дифференциалды жабық болса, яғни,
The necessary and sufficient conditions for complete integrability of a Pfaffian system are given by the Frobenius theorem. One version states that if the ideal algebraically generated by the collection of αi inside the ring Ω(M) is differentially closed, in other words
жүйе максималды интегралдық көпқырлылықтармен жапырақтандырылуға ие болады. (Керісі анықтамаларынан түсінікті.)
then the system admits a foliation by maximal integral manifolds. (The converse is obvious from the definitions.)
Жалпылау
Дифференциалдық жүйелерде интегралдану шарттарына көптеген жалпыламалар бар, олар міндетті түрде бір формалармен туындамайды. Олардың ең белгілілері – тек нақты аналитикалық дифференциалдық жүйелерге ғана қолданылатын Картан-Кейлер теоремасы және Картан-Кураниши ұзарту теоремасы. Толығырақ ақпарат алу үшін "Қосымша оқу" бөлімін қараңыз. Ньюландер-Ниренберг теоремасы дерлік күрделі құрылым үшін интегралдану шарттарын ұсынады.
Many generalizations exist to integrability conditions on differential systems which are not necessarily generated by one forms. The most famous of these are the Cartan–Kähler theorem, which only works for real analytic differential systems, and the Cartan–Kuranishi prolongation theorem. See Further reading for details. The Newlander Nirenberg theorem gives integrability conditions for an almost complex structure.