Введение
В математике некоторые системы частных дифференциальных уравнений удобно формулировать, с точки зрения их лежащей в основе геометрической и алгебраической структуры, в терминах системы дифференциальных форм. Идея заключается в использовании того, как дифференциальная форма ограничивается подмногообразием, и в том факте, что это ограничение совместимо с внешней производной. Это один из возможных подходов к некоторым переопределённым системам, например, включая пары Лакса интегрируемых систем. Система Пфаффа задаётся только 1-формами, но теория включает другие типы примеров дифференциальных систем. В частности, система Пфаффа – это набор 1-форм на гладком многообразии (которые приравниваются к нулю для нахождения решений системы). Для набора дифференциальных 1-форм на -мерном многообразии , интегральным многообразием является погружённое (не обязательно вложенное) подмногообразие, чьё тангенциальное пространство в каждой точке аннигилируется (образом оттягивания) каждой из этих форм. Максимальным интегральным многообразием является погружённое (не обязательно вложенное) подмногообразие, такое, что ядро карты ограничений на формах порождается в каждой точке Если, кроме того, эти 1-формы линейно независимы, то является -мерным. Система Пфаффа считается полностью интегрируемой, если допускает расслоение максимальными интегральными многообразиями. (Следует отметить, что расслоение не обязательно должно быть регулярным, то есть листья расслоения могут не быть вложенными подмногообразиями.) Условие интегрируемости – это условие на 1-формы, гарантирующее существование интегральных подмногообразий достаточно высокой размерности.
A maximal integral manifold is an immersed (not necessarily embedded) submanifold
such that the kernel of the restriction map on forms
is spanned by the at every point of If in addition the are linearly independent, then is dimensional. A Pfaffian system is said to be completely integrable if admits a foliation by maximal integral manifolds. (Note that the foliation need not be regular; i. e. the leaves of the foliation might not be embedded submanifolds.) An integrability condition is a condition on the to guarantee that there will be integral submanifolds of sufficiently high dimension.
Необходимые и достаточные условия
Необходимые и достаточные условия полной интегрируемости системы Пфаффа даются теоремой Фробениуса. Одна из формулировок гласит, что если идеал, алгебраически порожденный множеством αi в кольце Ω(M), является дифференциально замкнутым, то есть
то система допускает листвование максимальными интегральными многообразиями. (Обратное утверждение очевидно из определений.)
Обобщения
Существует множество обобщений условий интегрируемости для дифференциальных систем, не обязательно порожденных одномерными формами. Наиболее известными из них являются теорема Картана — Кейлера, которая применима только к реальным аналитическим дифференциальным системам, и теорема пролонгации Картана — Кураниси. Подробности см. в разделе «Дальнейшее чтение». Теорема Ньюлендера — Ниренберга дает условия интегрируемости для почти комплексной структуры.