Сир Саймон Дональдсон: Математик және геометрияға қосқан үлесі

Кіріспе

Ағылшын математигі Сэр Саймон Кирван Дональдсон (20 тамыз 1957 жылы туған) – ағылшын математигі, тегіс (дифференциалданатын) төрт өлшемді көптүрліліктердің топологиясы, Дональдсон-Томас теориясы және Келер геометриясына қосқан үлесімен белгілі. Қазіргі уақытта ол Нью-Йорктегі Стони Брук университетінің Симонс геометрия және физика орталығының тұрақты мүшесі және Лондондағы Императорлық колледждің таза математика профессоры.

Өмірбаян

Дональдсонның әкесі Кембридж университетінің физиология кафедрасында электр инженері болған, ал анасы сол жерде ғылым дәрежесін алған. Дональдсон 1979 жылы Кембридждегі Пемброк колледжінен математикадан бакалавр дәрежесін алды, ал 1980 жылы Оксфордтағы Вустер колледжінде алғашқыда Найджел Хичиннің, кейін Майкл Атияның жетекшілігімен аспирантура жұмысын бастады. 1982 жылы Дональдсон өзінің атағын нығайтатын нәтижеге қол жеткізді. Ол 1983 жылы жарық көрген «Өзін-өзі қосатын байланыстар және тегіс 4-көптүрліліктің топологиясы» атты мақаласында нәтижелерін жариялады. Атияның сөздері бойынша, бұл мақала «математикалық әлемді таң қалдырды». Майкл Фридман топологиялық төрт көптүрлілікті жіктеген кезде, Дональдсонның жұмысы кванттық өріс теориясынан шыққан Янг-Миллс өлшем теориясының теңдеулеріне инстантонды, нақты шешімді қолдана отырып, дифференциалдық құрылымды қабылдайтын төрт көптүрлілікке назар аударды. Дональдсонның алғашқы нәтижелерінің бірі тегіс төрт көптүрліліктің қиылысу формасына қатаң шектеулер қойды. Салдарынан, топологиялық төрт көптүрліліктің үлкен класы ешқандай тегіс құрылымды қабылдамайды. Дональдсон сонымен қатар гаудж теориясынан полиномиялық инварианттарды туындылады. Бұл төрт көптүрліліктің түпкілікті тегіс құрылымына сезімтал жаңа топологиялық инварианттар болды. Олар «экзотикалық» тегіс құрылымдардың болуын анықтауға мүмкіндік берді. 1983 жылы Оксфорд университетінен DPhil дәрежесін алғаннан кейін Дональдсон Оксфордтың All Souls колледжінде кіші ғылыми қызметкер болып тағайындалды. 1983–1984 оқу жылын Принстондағы Жоғары оқу орнында өткізді және 1985 жылы Оксфордқа математика профессоры ретінде оралды. Бір жыл Стэнфорд университетіне барып келгеннен кейін, ол 1998 жылы Лондон Император колледжінің таза математика профессоры болып тағайындалды. 2014 жылы Нью-Йорктегі Стони Брук университетінің Симонс геометрия және физика орталығына жұмысқа кірді және 1986, 1998 және 2018 жылдары Халықаралық математиктер конгресінде (ХМК) пленарлық баяндама жасады. 1985 жылы Дональдсон Лондон математикалық қоғамынан «Жас Уайтхед» сыйлығын алды. 1994 жылы математикадан Крэфорд сыйлығын алды. 2006 жылдың ақпан айында Дональдсон физикамен байланысты таза математикалық теориялар бойынша жұмысы үшін ғылым бойынша Король Фейсал халықаралық сыйлығын алды, бұл материяның заңдарын субядролық деңгейде түсінуге көмектесті. 2008 жылдың сәуірінде ол Норт-Уэстерн университетінің математика саласындағы сыйлығы – Немерс сыйлығын алды. 2009 жылы ол математикадағы Шоу сыйлығын (Клиффорд Таубеспен бірге) 3 және 4 өлшемдегі геометрияға қосқан үлесі үшін алды. 2014 жылы ол математикадағы жетістік сыйлығын «төрт өлшемді көптүрліліктердің жаңа революциялық инварианттары және алгебралық геометриядағы тұрақтылық пен жаһандық дифференциалдық геометриядағы байланыстарды зерттеу үшін, бундельдер мен Фано сорттары үшін» алды. 2019 жылдың қаңтар айында геометрия бойынша Освальд Веблен сыйлығына ие болды (Сюйсон Чэнь және Сонг Сунмен бірге). 1986 жылы ол Корольдік қоғамның мүшесі болып сайланды және Берклидегі Халықаралық математиктер конгресінде (ХМК) Филдс медалімен марапатталды. 2010 жылы Дональдсон Швед Корольдік ғылым академиясының шетелдік мүшесі болып сайланды. 2012 жылы математика саласына сіңірген еңбегі үшін ол рыцарь атағына ие болды. 2012 жылы ол Америка математикалық қоғамының мүшесі болды. 2014 жылдың наурыз айында Гренобльдегі Жозеф Фурье университеті «Honoris Causa» докторы дәрежесін берді. 2017 жылдың қаңтар айында Мадридтің Комплутенс университеті «Honoris Causa» докторы дәрежесін берді.

Donaldson's father was an electrical engineer in the physiology department at the University of Cambridge, and his mother earned a science degree there. Donaldson gained a BA degree in mathematics from Pembroke College, Cambridge, in 1979, and in 1980 began postgraduate work at Worcester College, Oxford, at first under Nigel Hitchin and later under Michael Atiyah's supervision. Still a postgraduate student, Donaldson proved in 1982 a result that would establish his fame. He published the result in a paper "Self dual connections and the topology of smooth 4 manifolds" which appeared in 1983. In the words of Atiyah, the paper "stunned the mathematical world." Whereas Michael Freedman classified topological four manifolds, Donaldson's work focused on four manifolds admitting a differentiable structure, using instantons, a particular solution to the equations of Yang–Mills gauge theory which has its origin in quantum field theory. One of Donaldson's first results gave severe restrictions on the intersection form of a smooth four manifold. As a consequence, a large class of the topological four manifolds do not admit any smooth structure at all. Donaldson also derived polynomial invariants from gauge theory. These were new topological invariants sensitive to the underlying smooth structure of the four manifold. They made it possible to deduce the existence of "exotic" smooth structures—certain topological four manifolds could carry an infinite family of different smooth structures. After gaining his DPhil degree from Oxford University in 1983, Donaldson was appointed a Junior Research Fellow at All Souls College, Oxford. He spent the academic year 1983–84 at the Institute for Advanced Study in Princeton, and returned to Oxford as Wallis Professor of Mathematics in 1985. After spending one year visiting Stanford University, he moved to Imperial College London in 1998 as Professor of Pure Mathematics. In 2014, he joined the Simons Center for Geometry and Physics at Stony Brook University in New York, United States. and a plenary speaker at the ICM in 1986, 1998, and 2018. In 1985, Donaldson received the Junior Whitehead Prize from the London Mathematical Society. In 1994, he was awarded the Crafoord Prize in Mathematics. In February 2006, Donaldson was awarded the King Faisal International Prize for science for his work in pure mathematical theories linked to physics, which have helped in forming an understanding of the laws of matter at a subnuclear level. In April 2008, he was awarded the Nemmers Prize in Mathematics, a mathematics prize awarded by Northwestern University. In 2009, he was awarded the Shaw Prize in Mathematics (jointly with Clifford Taubes) for their contributions to geometry in 3 and 4 dimensions. In 2014, he was awarded the Breakthrough Prize in Mathematics "for the new revolutionary invariants of 4 dimensional manifolds and for the study of the relation between stability in algebraic geometry and in global differential geometry, both for bundles and for Fano varieties." In January 2019, he was awarded the Oswald Veblen Prize in Geometry (jointly with Xiuxiong Chen and Song Sun). In 1986, he was elected a Fellow of the Royal Society and received a Fields Medal at the International Congress of Mathematicians (ICM) in Berkeley. In 2010, Donaldson was elected a foreign member of the Royal Swedish Academy of Sciences. He was knighted in the 2012 New Year Honours for services to mathematics. In 2012, he became a fellow of the American Mathematical Society. In March 2014, he was awarded the degree "Docteur Honoris Causa" by Université Joseph Fourier, Grenoble. In January 2017, he was awarded the degree "Doctor Honoris Causa" by the Universidad Complutense de Madrid, Spain.

Зерттеу

Дональдсонның жұмысы математикалық талдауды (әсіресе эллиптикалық бөлшектік дифференциалдық теңдеулерді талдау) геометриядағы проблемаларға қолдануға арналған. Проблемалар негізінен өлшеу теориясы, 4-көптүрліліктер, күрделі дифференциалдық геометрия және симплектикалық геометрия салаларын қамтиды. Төмендегі теоремалар аталып өтті:

Диагональдастыру теоремасы: Егер тегіс, жабық, жай байланысқан 4-көптүрліліктің қиылысу формасы оң немесе теріс анықталған болса, онда ол бүтін сандар бойынша диагональдастырылуы мүмкін. Бұл нәтиже кейде Дональдсон теоремасы деп аталады. Жай байланысқан 4-көптүрліліктер арасындағы тегіс h-кобордизмдер міндетті түрде тривиальды болмауы мүмкін. Бұл жоғары өлшемдердегі жағдайға қайшы келеді. Сингуляр емес проективті алгебралық сорттағы тұрақты голоморфты векторлық шоғыр индуктивті дәлелдеме және детерминантты шоғырлар мен Куиллен метрикалары теориясын қолдану арқылы дәлелденген Гермиттік-Эйнштейн метрикасына ие. Сингуляр емес проективті алгебралық бет, егер олардың біреуінде теріс анықталған қиылысу формасы болса ғана, екі бағдарланған 4-көптүрліліктің байланысқан қосындысына диффеоморфты болуы мүмкін. Бұл Дональдсон инвариантының (немесе инстантон инварианттарының) алғашқы қолданылуы болды. Кез келген компактты симплектикалық көптүрлілік симплектикалық Лефшец қарындашына ие. Дональдсонның соңғы жұмысы күрделі дифференциалдық геометриядағы мәселеге, яғни тегіс проективті сорттар үшін алгебра-геометриялық «тұрақтылық» жағдайлары мен «экстремалды» Кэлер метрикаларының болуы арасындағы болжамды байланысқа қатысты. Дональдсон мәселенің ториктік жағдайында нәтижелер алды (мысалы қараңыз). Содан кейін ол 2012 жылы Чен және Сунмен бірлесіп Кэлер-Эйнштейн мәселесін шешті. Бұл соңғы керемет жетістік бірқатар қиын және техникалық мақалаларды қамтыды. Олардың біріншісі Громов-Хаусдорф лимиттері туралы мақала болды. Кэлер-Эйнштейн метрикасының бар екендігінің дәлелінің қысқаша мазмұны, толық дәлелдермен бірге көрсетілген.

Фану коллекторлары мен Веблен сыйлығы туралы болжам

2019 жылы Дональдсонға, Ксусионг Чен және Сонг Сунмен бірге, Фано көптүстіктеріндегі ұзақ жылдар бойы сақталған болжамды дәлелдегені үшін геометрия саласындағы Освальд Веблен сыйлығы табысталды. Бұл болжам, «Фано көптүстігі K-тұрақты болса ғана Калер-Эйнштейн метрикасына ие болады» дегенді күйдіреді. Ол 1980-ші жылдары Шинг Тунг Яу Калаби болжамын дәлелдегеннен кейін геометриядағы ең көп зерттелген тақырыптардың біріне айналды. Кейіннен Ган Тянь және Дональдсон бұл болжамды жалпылады. Чен, Дональдсон және Сунның шешімі 2015 жылы «Американдық математикалық қоғам журналында» «Фано көптүстіктеріндегі Калер-Эйнштейн метрикасы, I, II және III» деген үш бөлімнен тұратын серия ретінде жарияланды.