Введение
Английский математик сэр Саймон Кирван Дональдсон (родился 20 августа 1957 года) — английский математик, известный своими работами в области топологии гладких (дифференцируемых) четырёхмерных многообразий, теории Дональдсона — Томаса и вкладом в кэлерову геометрию. В настоящее время он является постоянным сотрудником Центра геометрии и физики Саймонса при Университете Стони Брук в Нью-Йорке и профессором чистой математики в Имперском колледже Лондона.
Sir Simon Kirwan Donaldson (born 20 August 1957) is an English mathematician known for his work on the topology of smooth (differentiable) four dimensional manifolds, Donaldson–Thomas theory, and his contributions to Kähler geometry. He is currently a permanent member of the Simons Center for Geometry and Physics at Stony Brook University in New York, and a Professor in Pure Mathematics at Imperial College London.
Биография
Отец Дональдсона был инженером-электриком в отделении физиологии Кембриджского университета, а его мать получила там степень в области естественных наук. Дональдсон получил степень бакалавра математики в Пемброк-колледже, Кембридж, в 1979 году, а в 1980 году начал аспирантуру в Вустер-колледже, Оксфорд, сначала под руководством Найджела Хитчина, а затем под руководством Майкла Атия. Еще будучи аспирантом, в 1982 году Дональдсон доказал результат, который принес ему известность. Он опубликовал этот результат в статье «Самодвойственные связи и топология гладких 4-многообразий», которая вышла в 1983 году. По словам Атия, статья «ошеломила математический мир». В то время как Майкл Фридман классифицировал топологические четырехмерные многообразия, работа Дональдсона была сосредоточена на четырехмерных многообразиях, допускающих дифференцируемую структуру, с использованием инстантонов — частного решения уравнений теории калибровочных полей Янга — Миллса, имеющего происхождение в квантовой теории поля. Один из первых результатов Дональдсона наложил существенные ограничения на форму пересечения гладкого четырехмерного многообразия. Как следствие, большой класс топологических четырехмерных многообразий вообще не допускает никакой гладкой структуры. Дональдсон также вывел полиномиальные инварианты из теории калибровочных полей. Это были новые топологические инварианты, чувствительные к лежащей в основе гладкой структуре четырехмерного многообразия. Они позволили установить существование «экзотических» гладких структур — некоторые топологические четырехмерные многообразия могут нести бесконечное семейство различных гладких структур. Получив степень доктора философии в Оксфордском университете в 1983 году, Дональдсон был назначен младшим научным сотрудником в колледже All Souls, Оксфорд. Он провел 1983–1984 учебный год в Институте перспективных исследований в Принстоне, а в 1985 году вернулся в Оксфорд в качестве профессора математики имени Уоллиса. После года, проведенного в Стэнфордском университете, в 1998 году он перешел в Имперский колледж Лондона в качестве профессора чистой математики. В 2014 году он присоединился к Центру геометрии и физики Саймонса при Университете Стоуни Брук в Нью-Йорке, США, и выступил с пленарным докладом на Международном конгрессе математиков (МКМ) в 1986, 1998 и 2018 годах. В 1985 году Дональдсон получил премию Джуниора Уайтхеда от Лондонского математического общества. В 1994 году он был удостоен Премии Крафорда по математике. В феврале 2006 года Дональдсон был удостоен Международной премии короля Фейсала за научные работы в области чистой математики, связанных с физикой, которые способствовали пониманию законов материи на субатомном уровне. В апреле 2008 года он был удостоен премии Неммерса по математике, присуждаемой Северо-Западным университетом. В 2009 году он был удостоен премии Шоу по математике (совместно с Клиффордом Таубсом) за их вклад в геометрию в трех и четырех измерениях. В 2014 году он был удостоен премии Breakthrough Prize in Mathematics «за новые революционные инварианты четырехмерных многообразий и за изучение связи между стабильностью в алгебраической геометрии и в глобальной дифференциальной геометрии, как для расслоений, так и для многообразий Фано». В январе 2019 года он был удостоен премии Освальда Веблена по геометрии (совместно с Сюй Цзяном и Сун Суном). В 1986 году он был избран членом Королевского общества и получил медаль Филдса на Международном конгрессе математиков (МКМ) в Беркли. В 2010 году Дональдсон был избран иностранным членом Королевской шведской академии наук. Он был посвящен в рыцари в 2012 году в новогодних наградах за заслуги перед математикой. В 2012 году он стал членом Американского математического общества. В марте 2014 года он был удостоен степени «Доктора honoris causa» Университета Жозефа Фурье в Гренобле. В январе 2017 года он был удостоен степени «Доктора honoris causa» Университетом Комплутенсе в Мадриде, Испания.
Исследования
Работа Дональдсона посвящена применению математического анализа (особенно анализа эллиптических уравнений в частных производных) к задачам геометрии. Эти задачи в основном касаются теории калибровок, 4-многообразий, комплексной дифференциальной геометрии и симплектической геометрии. Упомянуты следующие теоремы:
The diagonalizability theorem : If the intersection form of a smooth, closed, simply connected 4 manifold is positive or negative definite then it is diagonalizable over the integers. This result is sometimes called Donaldson's theorem. A smooth h cobordism between simply connected 4 manifolds need not be trivial This contrasts with the situation in higher dimensions. A stable holomorphic vector bundle over a non singular projective algebraic variety admits a Hermitian–Einstein metric , proven using an inductive proof and the theory of determinant bundles and Quillen metrics. A non singular, projective algebraic surface can be diffeomorphic to the connected sum of two oriented 4 manifolds only if one of them has negative definite intersection form This was an early application of the Donaldson invariant (or instanton invariants). Any compact symplectic manifold admits a symplectic Lefschetz pencil
Donaldson's recent work centers on a problem in complex differential geometry concerning a conjectural relationship between algebro geometric "stability" conditions for smooth projective varieties and the existence of "extremal" Kähler metrics, typically those with constant scalar curvature (see for example cscK metric). Donaldson obtained results in the toric case of the problem (see for example ). He then solved the Kähler–Einstein case of the problem in 2012, in collaboration with Chen and Sun. This latest spectacular achievement involved a number of difficult and technical papers. The first of these was the paper of on Gromov–Hausdorff limits. The summary of the existence proof for Kähler–Einstein metrics appears in Full details of the proofs appear in .
Теорема о диагонализуемости: Если форма пересечения гладкого, замкнутого, простосвязного 4-многообразия положительно или отрицательно определена, то она диагонализуема над целыми числами. Этот результат иногда называют теоремой Дональдсона. Гладкий h-кобордизм между простосвязными 4-многообразиями не обязательно тривиален. Это отличается от ситуации в более высоких размерностях. Стабильный голоморфный векторный расслоение над несингулярным проективным алгебраическим многообразием допускает эрмитову–эйнштейновскую метрику, что было доказано с использованием индуктивного доказательства и теории детерминантных расслоений и метрик Куиллена. Несингулярная проективная алгебраическая поверхность может быть диффеоморфна связной сумме двух ориентированных 4-многообразий только в том случае, если у одного из них отрицательно определенная форма пересечения. Это было одним из первых применений инварианта Дональдсона (или инстантонных инвариантов). Любое компактное симплектическое многообразие допускает симплектический карандаш Лефшеца.
The diagonalizability theorem : If the intersection form of a smooth, closed, simply connected 4 manifold is positive or negative definite then it is diagonalizable over the integers. This result is sometimes called Donaldson's theorem. A smooth h cobordism between simply connected 4 manifolds need not be trivial This contrasts with the situation in higher dimensions. A stable holomorphic vector bundle over a non singular projective algebraic variety admits a Hermitian–Einstein metric , proven using an inductive proof and the theory of determinant bundles and Quillen metrics. A non singular, projective algebraic surface can be diffeomorphic to the connected sum of two oriented 4 manifolds only if one of them has negative definite intersection form This was an early application of the Donaldson invariant (or instanton invariants). Any compact symplectic manifold admits a symplectic Lefschetz pencil
Donaldson's recent work centers on a problem in complex differential geometry concerning a conjectural relationship between algebro geometric "stability" conditions for smooth projective varieties and the existence of "extremal" Kähler metrics, typically those with constant scalar curvature (see for example cscK metric). Donaldson obtained results in the toric case of the problem (see for example ). He then solved the Kähler–Einstein case of the problem in 2012, in collaboration with Chen and Sun. This latest spectacular achievement involved a number of difficult and technical papers. The first of these was the paper of on Gromov–Hausdorff limits. The summary of the existence proof for Kähler–Einstein metrics appears in Full details of the proofs appear in .
Недавние работы Дональдсона сосредоточены на задаче в комплексной дифференциальной геометрии, касающейся предполагаемой связи между алгебро-геометрическими условиями "стабильности" для гладких проективных многообразий и существованием "экстремальных" метрик Кэлера, как правило, с постоянной скалярной кривизной (см., например, метрику cscK). Дональдсон получил результаты для торического случая этой задачи (см. пример). Затем, в 2012 году в сотрудничестве с Ченом и Сунь, он решил задачу Кэлера–Эйнштейна. Это последнее выдающееся достижение потребовало ряда сложных и технически трудоемких работ. Первой из них была работа о громовых–хаусдорфовых пределах. Краткое изложение доказательства существования метрик Кэлера–Эйнштейна представлено в . Полные доказательства приведены в .
The diagonalizability theorem : If the intersection form of a smooth, closed, simply connected 4 manifold is positive or negative definite then it is diagonalizable over the integers. This result is sometimes called Donaldson's theorem. A smooth h cobordism between simply connected 4 manifolds need not be trivial This contrasts with the situation in higher dimensions. A stable holomorphic vector bundle over a non singular projective algebraic variety admits a Hermitian–Einstein metric , proven using an inductive proof and the theory of determinant bundles and Quillen metrics. A non singular, projective algebraic surface can be diffeomorphic to the connected sum of two oriented 4 manifolds only if one of them has negative definite intersection form This was an early application of the Donaldson invariant (or instanton invariants). Any compact symplectic manifold admits a symplectic Lefschetz pencil
Donaldson's recent work centers on a problem in complex differential geometry concerning a conjectural relationship between algebro geometric "stability" conditions for smooth projective varieties and the existence of "extremal" Kähler metrics, typically those with constant scalar curvature (see for example cscK metric). Donaldson obtained results in the toric case of the problem (see for example ). He then solved the Kähler–Einstein case of the problem in 2012, in collaboration with Chen and Sun. This latest spectacular achievement involved a number of difficult and technical papers. The first of these was the paper of on Gromov–Hausdorff limits. The summary of the existence proof for Kähler–Einstein metrics appears in Full details of the proofs appear in .
Предположение о коллекторах Фана и премии Веблена
В 2019 году Дональдсон был удостоен премии Освальда Веблена по геометрии совместно с Ксюнь Ченом и Сонг Сунь за доказательство давней гипотезы о многообразиях Фано, утверждающей, что "многообразие Фано допускает метрику Кэлера — Эйнштейна тогда и только тогда, когда оно K-устойчиво". Эта проблема активно исследовалась в геометрии с момента её постановки в 1980-х годах Шингом Тунгом Яу после доказательства им гипотезы Калаби. Позднее её обобщили Ган Тянь и Дональдсон. Решение Чена, Дональдсона и Сун было опубликовано в журнале Американского математического общества в 2015 году в виде серии из трех статей: "Метрики Кэлера — Эйнштейна на многообразиях Фано, I, II и III".