Кіріспе
Алгебралық сақиналар жіктелуі
Якобсон түбіріндегі идеалмен анықталған топологиясы бар Ноэтерлік сақинаның бұрынғы мағынасы. Математикада, жартылай жергілікті сақина – бұл R/J(R) жартылай жай сақина болатын сақина, мұнда J(R) – R сақинасының Якобсон түбірі.
the older meaning of a Noetherian ring with a topology defined by an ideal in the Jacobson radical
In mathematics, a semi local ring is a ring for which R/J(R) is a semisimple ring, where J(R) is the Jacobson radical of R.
Жоғарыдағы анықтама R сақинасының оң жақтан максималды идеалдарының саны шекті болса (және сол жақтан максималды идеалдарының саны шекті болса) орындалады. Егер R коммутативті сақина болса, кері тұжырым да дұрыс, сондықтан коммутативті сақиналар үшін жартылай жергілікті анықтама көбінесе "шекті көп максималды идеалдары бар" деп қарастырылады. Кейбір әдебиеттер коммутативті жартылай жергілікті сақинаны жалпы жағдайда квази жартылай жергілікті сақина деп атайды, ал жартылай жергілікті сақина терминін шекті көп максималды идеалдары бар Ноэтерлік сақинаны білдіру үшін қолданады. Осылайша, жартылай жергілікті сақина жергілікті сақинадан гөрі жалпылама түсінік, онда тек бір максималды (оң/сол/екі жақты) идеал болады.
quasi semi local ring, using semi local ring to refer to a Noetherian ring with finitely many maximal ideals. A semi local ring is thus more general than a local ring, which has only one maximal (right/left/two sided) ideal.
Мысалдар
Кез келген оң және сол жақты Артиниялық сақина, кез келген сериялық сақина және кез келген жартылай толық сақина жартылай жергілікті болып табылады. Бөліндісі – жартылай жергілікті сақина. Атап айтқанда, егер p – жай санның дәрежесі болса, онда R/p^n – жергілікті сақина. Өрістердің шекті тікелей қосындысы жартылай жергілікті сақина болып табылады. Бірлікпен коммутативті сақиналар жағдайында бұл мысал келесі мағынада үлгі болып табылады: Қытайлық қалдық теоремасы бірлік және максималдық идеалдары m1, ..., mn бар R жартылай жергілікті коммутативті сақина үшін (бейнелеу – табиғи проекция) екенін көрсетеді. Оң жағы – өрістердің тікелей қосындысы. Мұнда ∩i mi = J(R) екенін және R/J(R) шын мәнінде жартылай жай сақина екенін көреміз. Кез келген коммутативті Нотер сақинасының классикалық бөліктер сақинасы – жартылай жергілікті сақина. Артиниялық модульдің эндоморфизмдер сақинасы – жартылай жергілікті сақина. Жартылай жергілікті сақиналар, мысалы, алгебралық геометрияда, R (коммутативті) сақинасы S = ∩ (R \ pi) көбейтуге жабық жиынға қатысты локализацияланған кезде пайда болады, мұнда pi – шекті көптеген жай идеалдар.