Введение

Алгебраическая классификация колец – более раннее значение ноэтерианского кольца с топологией, заданной идеалом в радикале Якобсона.
В математике полулокальным кольцом называется кольцо, для которого R/J(R) является полупростым кольцом, где J(R) – радикал Якобсона кольца R.

Вышеуказанное определение выполняется, если R имеет конечное число максимальных правых идеалов (и конечное число максимальных левых идеалов). Если R – коммутативное кольцо, то и обратное утверждение верно, поэтому определение полулокального кольца для коммутативных колец часто формулируется как "имеющее конечное число максимальных идеалов". В некоторых источниках коммутативное полулокальное кольцо называют квазиполулокальным кольцом, а термин "полулокальное кольцо" используют для обозначения ноэтерианского кольца с конечным числом максимальных идеалов. Таким образом, полулокальное кольцо является более общим понятием, чем локальное кольцо, которое имеет только один максимальный (правый/левый/двусторонний) идеал.

Примеры

Любое правое или левое артинианское кольцо, любое серийное кольцо и любое полусовершенное кольцо является полулокальным. Частное является полулокальным кольцом. В частности, если *p* – степень простого числа, то *R/p* является локальным кольцом. Конечная прямая сумма полей является полулокальным кольцом. В случае коммутативных колец с единицей, этот пример является прототипическим в следующем смысле: китайская теорема об остатках показывает, что для полулокального коммутативного кольца *R* с единицей и максимальными идеалами *m₁*, …, *mₙ* (отображение является естественной проекцией), получается прямая сумма полей. Здесь мы отмечаем, что ∩ᵢ *mᵢ* = *J(R)*, и видим, что *R/J(R)* действительно является полупростым кольцом. Классическое кольцо частных для любого коммутативного нётерова кольца является полулокальным кольцом. Кольцо эндоморфизмов артинианского модуля является полулокальным кольцом. Полулокальные кольца возникают, например, в алгебраической геометрии, когда (коммутативное) кольцо *R* локализуется относительно мультипликативно замкнутого подмножества *S* = ∩ (*R* \ *Pᵢ*), где *Pᵢ* – конечное число простых идеалов.