Кіріспе
Векторлар жиынтығының ішкі көбейтінділерінің матрицасы. Сызықтық алгебрада, ішкі көбейтінді кеңістігіндегі векторлар жиынтығының Грам матрицасы (немесе Грам матрицасы, Грам) – ішкі көбейтінділердің Эрмиттік матрицасы болып табылады, оның элементтері ішкі көбейтінді арқылы беріледі. Егер векторлар матрицаның бағандарын құраса, онда Грам матрицасы векторлар координаттары кешенді сандар болған жағдайда, ал векторлар координаттары нақты сандар болған жағдайда оңайлатылады. Маңызды қолданысы – сызықтық тәуелсіздікті анықтау: векторлар жиынтығы сызықтық тәуелсіз болады, егер және тек қана Грам детерминанты (Грам матрицасының детерминанты) нөлге тең болмаса. Ол Юрген Педерсен Грамның құрметіне аталған.
In linear algebra, the Gram matrix (or Gramian matrix, Gramian) of a set of vectors in an inner product space is the Hermitian matrix of inner products, whose entries are given by the inner product If the vectors are the columns of matrix then the Gram matrix is in the general case that the vector coordinates are complex numbers, which simplifies to for the case that the vector coordinates are real numbers. An important application is to compute linear independence: a set of vectors are linearly independent if and only if the Gram determinant (the determinant of the Gram matrix) is non zero. It is named after Jørgen Pedersen Gram.
Оң жартылай нақтылық
Грам матрицасы нақты өнім нақты мәнді болған жағдайда симметриялық, ал жалпы күрделі жағдайда ішкі өнімнің анықтамасы бойынша гермиттік болады. Грам матрицасы оң жартылай белгілі, және кез келген оң жартылай белгілі матрица – белгілі бір векторлар жиыны үшін Грам матрицасы болып табылады. Грам матрицасының оң жартылай белгілі екендігі келесі қарапайым шығарылымнан көрінеді:
Бірінші теңдік матрица көбейтудің анықтамасынан, екінші және үшінші теңдіктер ішкі өнімнің екі сызықтылығынан, ал соңғысы ішкі өнімнің оң белгілілігінен туындайды. Сондай-ақ, бұл Грам матрицасы оң белгілі екенін көрсетеді, егер және тек қана векторлар сызықтық тәуелсіз болса (яғни, барлық үшін).
Басқа қасиеттері
Сондықтан, ең болмағанда және олар бір-бірімен ауысады. Яғни, нақты немесе комплекс сандардың Gram матрицасы сонымен қатар нормальды матрица болып табылады. Кез келген ортонормалды базистің Gram матрицасы – бірлік матрица. Сол сияқты, нақты айналу матрицасының қатарларының немесе бағандарының Gram матрицасы бірлік матрица болып табылады. Демек, унитарлық матрицаның қатарларының немесе бағандарының Gram матрицасы да бірлік матрица болып табылады. векторлардың Gram матрицасының ранкі осы векторлар құратын кеңістіктің өлшеміне тең.