Введение
Матрица внутренних произведений множества векторов. В линейной алгебре грамова (или грамианская) матрица множества векторов в пространстве с внутренним произведением — это эрмитова матрица внутренних произведений, элементы которой задаются внутренним произведением. Если векторы являются столбцами матрицы A, то грамова матрица в общем случае, когда координаты векторов являются комплексными числами, имеет вид A*A, а для случая, когда координаты векторов являются действительными числами, упрощается до AᵀA. Важным применением является определение линейной независимости: множество векторов линейно независимо тогда и только тогда, когда определитель Грама (определитель грамовой матрицы) отличен от нуля. Названа в честь Йоргена Педерсена Грама.
In linear algebra, the Gram matrix (or Gramian matrix, Gramian) of a set of vectors in an inner product space is the Hermitian matrix of inner products, whose entries are given by the inner product If the vectors are the columns of matrix then the Gram matrix is in the general case that the vector coordinates are complex numbers, which simplifies to for the case that the vector coordinates are real numbers. An important application is to compute linear independence: a set of vectors are linearly independent if and only if the Gram determinant (the determinant of the Gram matrix) is non zero. It is named after Jørgen Pedersen Gram.
Положительная полуопределенность
Матрица Грамма симметрична, если скалярное произведение вещественнозначно; в общем, комплексном случае она эрмитова по определению скалярного произведения. Матрица Грамма положительно полуопределена, и любая положительно полуопределенная матрица является матрицей Грамма для некоторого набора векторов. Тот факт, что матрица Грамма положительно полуопределена, можно увидеть из следующего простого вывода: первое равенство следует из определения умножения матриц, второе и третье – из билинейности скалярного произведения, а последнее – из положительной определенности скалярного произведения. Следует отметить, что это также показывает, что матрица Грамма положительно определена тогда и только тогда, когда векторы линейно независимы (то есть, для всех ).
The first equality follows from the definition of matrix multiplication, the second and third from the bi linearity of the inner product, and the last from the positive definiteness of the inner product. Note that this also shows that the Gramian matrix is positive definite if and only if the vectors are linearly independent (that is, for all ).
Другие свойства
Поскольку это необходимо, то и коммутируют. То есть, вещественная или комплексная матрица Грама также является нормальной матрицей. Матрица Грама любого ортонормального базиса является единичной матрицей. Эквивалентно, матрица Грама строк или столбцов вещественной матрицы вращения является единичной матрицей. Аналогично, матрица Грама строк или столбцов унитарной матрицы является единичной матрицей. Ранг матрицы Грама векторов в или равен размерности пространства, порожденного этими векторами.