Кіріспе
Кванттық механикада бұрыштық импульсті есептеу үшін қолданылатын теорема. Вигнер-Эккарт теоремасы – бейнелеу теориясы мен кванттық механиканың теоремасы. Ол бұрыштық импульстің өзіндік күйлерінің негізінде сфералық тензор операторларының матрицалық элементтерін екі фактордың көбейтіндісі түрінде көрсетуге болады дейді, олардың біреуі бұрыштық импульстің бағытына тәуелсіз, ал екіншісі – Клебш-Гордан коэффициенті. Атауы физиктер Юджин Вигнер мен Карл Эккарт есімдерімен байланысты, олар кеңістіктің симметриялық түрлендіру топтарын (Шредингер теңдеулеріне қолданғанда) және энергияны, импульсті және бұрыштық импульсті сақтау заңдары арасындағы байланыс ретінде формализмді жасады. Математикалық тұрғыдан алғанда, Вигнер-Эккарт теоремасы әдетте келесідей тұжырымдалады. Егер тензорлық оператор және екі бұрыштық импульс күйі берілген болса, және барлық , , және үшін, келесі теңдеу орындалатын тұрақты болады:
The Wigner–Eckart theorem is a theorem of representation theory and quantum mechanics. It states that matrix elements of spherical tensor operators in the basis of angular momentum eigenstates can be expressed as the product of two factors, one of which is independent of angular momentum orientation, and the other a Clebsch–Gordan coefficient. The name derives from physicists Eugene Wigner and Carl Eckart, who developed the formalism as a link between the symmetry transformation groups of space (applied to the Schrödinger equations) and the laws of conservation of energy, momentum, and angular momentum. Mathematically, the Wigner–Eckart theorem is generally stated in the following way. Given a tensor operator and two states of angular momenta and , there exists a constant such that for all , , and , the following equation is satisfied:
мұнда:
– k дәрежелі сфералық тензор операторының q-шы компоненті,
– толық бұрыштық импульс операторының J^(2) және оның z компоненті Jz өзіндік күйін білдіреді,
– j′-ді k-мен біріктіруге арналған Клебш-Гордан коэффициенті,
– m, m′ және q-ға тәуелді емес, сондай-ақ қысқартылған матрицалық элемент деп аталатын белгілі бір мән. Вигнер-Эккарт теоремасы шын мәнінде, k дәрежелі сфералық тензор операторымен бұрыштық импульстің өзіндік күйінде операция жасау, бұрыштық импульсы k болатын күйді күйге қосуға ұқсас екенін көрсетеді. Сфералық тензор операторы үшін есептелген матрицалық элемент екі бұрыштық импульсты қосуды ескергенде туындайтын Клебш-Гордан коэффициентіне пропорционалды. Басқаша айтқанда, Вигнер-Эккарт теоремасы – векторлық операторлардың ішкі кеңістікте қалай әрекет ететінін сипаттайтын теорема. Белгілі бір ішкі кеңістікте векторлық оператордың компоненті бұрыштық импульс операторының сол компонентіне пропорционалды түрде әрекет етеді. Бұл анықтама Коэн-Таннуджи, Диу және Лалоэдің «Кванттық механика» кітабында келтірілген.
is the q th component of the spherical tensor operator of rank k,
denotes an eigenstate of total angular momentum J^(2) and its z component Jz,
is the Clebsch–Gordan coefficient for coupling j′ with k to get j,
denotes some value that does not depend on m, m′, nor q and is referred to as the reduced matrix element. The Wigner–Eckart theorem states indeed that operating with a spherical tensor operator of rank k on an angular momentum eigenstate is like adding a state with angular momentum k to the state. The matrix element one finds for the spherical tensor operator is proportional to a Clebsch–Gordan coefficient, which arises when considering adding two angular momenta. When stated another way, one can say that the Wigner–Eckart theorem is a theorem that tells how vector operators behave in a subspace. Within a given subspace, a component of a vector operator will behave in a way proportional to the same component of the angular momentum operator. This definition is given in the book Quantum Mechanics by Cohen–Tannoudji, Diu and Laloe.
Қозғалтқыш мысал: 4d → 2p ауысуы үшін позициялық оператор матрицасының элементтері
Егер біз сутек атомының 4d орбиталынан 2p орбиталына электронның өтуі үшін транзициялық дипольдық моменттерді есептеуді қаласақ, яғни , ri – позициялық оператордың x, y немесе z компоненті, ал m1, m2 – 2p немесе 4d субқабықтың ішіндегі әртүрлі орбиталдарды ажырататын магниттік кванттық сандар. Егер біз мұны тікелей жасасақ, онда 45 түрлі интегралды есептеу қажет: m1 үшін 3 мүмкіндік бар (-1, 0, 1), m2 үшін 5 мүмкіндік бар (-2, -1, 0, 1, 2) және i үшін 3 мүмкіндік, сондықтан барлығы 3 × 5 × 3 = 45. Вигнер-Эккарт теоремасы сол 45 интегралдың біреуін ғана есептегеннен кейін бірдей ақпаратты алуға мүмкіндік береді (олардың кез келгенін, егер ол нөлден өзгеше болса, пайдалануға болады). Содан кейін қалған 44 интегралды сол бірінші интегралдан табуға болады – ешқандай толқындық функцияларды жазудың немесе интегралды есептеудің қажеті жоқ – Клебш-Гордан коэффициенттерінің көмегімен, оларды кестеде оңай табуға немесе қолмен немесе компьютерде есептеуге болады.
Дәлелдің сапалық қорытуы
Вигнер-Эккарт теоремасының жұмыс істеу себебі – осы 45 түрлі есептеудің бәрі айналым арқылы бір-бірімен байланысқандығында. Егер электрон 2p орбитальдарының бірінде болса, жүйені айналдыру оны әдетте басқа 2p орбиталына көшіреді (көбінесе ол барлық үш негіздік күйдің кванттық суперпозициясында болады, m = +1, 0, -1). Сол сияқты, егер электрон 4d орбитальдарының бірінде болса, жүйені айналдыру оны басқа 4d орбиталына көшіреді. Соңында, осыған ұқсас мәлімдеме позиция операторы үшін де дұрыс: жүйе айналғанда, позиция операторының үш компоненті тиімді түрде алмасады немесе араласады. Егер біз 45 мәннің біреуін ғана білсек (мысалы, біз оны білеміз) және содан кейін жүйені айналдырсақ, K – бұл , , және нұсқаларының айналған түрі арасындағы матрицалық элементі деген қорытындыға келеміз. Бұл K және 44 белгісіз матрицалық элементтің кейбіреулері немесе барлығын қамтитын алгебралық қатынас береді. Жүйенің әртүрлі айналымдары әртүрлі алгебралық қатынастарға әкеледі, және осылайша матрицаның барлық элементтерін анықтауға жеткілікті ақпарат бар екені анықталады. (Іс жүзінде, осы математикалық есептеулерді орындағанда, біз күйлерге айналдырудың орнына бұрыштық импульс операторларын қолданамыз. Бірақ бұл негізінен бірдей нәрсе, өйткені айналымдар мен бұрыштық импульс операторлары арасындағы математикалық байланыс өте тығыз.)
Өкілдік теориясы тұрғысынан
Бұл байқауларды нақтырақ айту және оларды дәлелдеу үшін, бейнелеу теориясының математикасын қолдануға болады. Мысалы, барлық мүмкін 4d орбитальдардың жиынтығы (яғни 5 күй m = −2, −1, 0, 1, 2 және олардың кванттық суперпозициялары) 5 өлшемді абстрактілік векторлық кеңістікті құрайды. Жүйені айналдыру бұл күйлерді бір-біріне айналдырады, сондықтан бұл "топтық бейнелеудің" мысалы, бұл жағдайда айналыс тобының 5 өлшемді қайталанбайтын бейнелеуі ("irrep") SU(2) немесе SO(3), сонымен қатар "спин 2 бейнелеуі" деп аталады. Сол сияқты, 2p кванттық күйлері 3 өлшемді irrep ("спин 1" деп аталады) құрайды, ал позиция операторының компоненттері де 3 өлшемді "спин 1" irrep құрайды. Енді матрицалық элементтерді қарастырайық. Олар айналу арқылы сол үш бейнелеудің тензорлық көбейтіндісіне сәйкес түрлендіріледі, яғни 2p орбитальдарының спин 1 бейнелеуі, r компоненттерінің спин 1 бейнелеуі және 4d орбитальдарының спин 2 бейнелеуі. Бұл тікелей көбейтінді, SU(2) тобының 45 өлшемді бейнелеуі, азайтылмайтын бейнелеу емес, керісінше, ол спин 4 бейнелеуінің тікелей қосындысы, екі спин 3 бейнелеуі, үш спин 2 бейнелеуі, екі спин 1 бейнелеуі және спин 0 (яғни тривиальды) бейнелеуі. Нөлден басқа матрицалық элементтер тек спин 0 субкеңістігінен ғана шыға алады. Вигнер-Эккарт теоремасы жұмыс істейді, өйткені тікелей көбейтіндінің ыдырауында бір және тек бір спин 0 қосалқы кеңістік бар, бұл барлық матрицалық элементтердің бір масштабтық фактормен анықталатынын білдіреді. Жалпы масштабтық фактордан басқа, матрицалық элементті есептеу сәйкес абстрактілік вектордың проекциясын есептеумен тең (45 өлшемді кеңістікте) спин 0 қосалқы кеңістігіне. Бұл есептеудің нәтижесі Клебш-Гордан коэффициенттері болып табылады. Клебш-Гордан ыдырауының негізгі сапалық ерекшелігі, бұл аргументтің жұмыс істеуіне мүмкіндік беретін фактор, екі азайтылмайтын бейнелеудің тензорлық көбейтіндісінің ыдырауында әрбір азайтылмайтын бейнелеу бір рет қана пайда болады. Бұл Шур леммасын қолдануға мүмкіндік береді.