Введение

Теорема, используемая в квантовой механике для вычислений углового момента. Теорема Вигнера — Эккарта — это теорема теории представлений и квантовой механики. Она утверждает, что матричные элементы сферических тензорных операторов в базисе собственных состояний углового момента могут быть выражены как произведение двух факторов, один из которых не зависит от ориентации углового момента, а другой — коэффициент Клебша — Гордана. Название происходит от физиков Юджина Вигнера и Карла Эккарта, которые разработали этот формализм как связь между группами преобразований симметрии пространства (применяемых к уравнениям Шрёдингера) и законами сохранения энергии, импульса и углового момента. Математически теорема Вигнера — Эккарта обычно формулируется следующим образом. Для заданного тензорного оператора и двух состояний с угловыми моментами и , существует постоянная такая, что для всех , , и выполняется следующее уравнение:

где
— q-я компонента сферического тензорного оператора ранга k,
— обозначает собственное состояние полного углового момента и его z-компоненты ,
— коэффициент Клебша — Гордана для сложения угловых моментов и в ,
— обозначает некоторое значение, не зависящее от m, m′ и q, и называется приведенным матричным элементом. Таким образом, теорема Вигнера — Эккарта утверждает, что действие сферического тензорного оператора ранга k на собственное состояние углового момента эквивалентно добавлению состояния с угловым моментом k к исходному состоянию. Матричный элемент, полученный для сферического тензорного оператора, пропорционален коэффициенту Клебша — Гордана, который возникает при рассмотрении сложения двух угловых моментов. Иными словами, теорема Вигнера — Эккарта описывает поведение векторных операторов в подпространстве. Внутри заданного подпространства компонента векторного оператора ведет себя пропорционально соответствующей компоненте оператора углового момента. Это определение приведено в книге «Квантовая механика» Коэна — Таннуджи, Диу и Лало.

Мотивирующий пример: элементы матрицы оператора позиции для перехода 4d → 2p

Предположим, мы хотим рассчитать переходные дипольные моменты для электронного перехода с 4d на 2p орбиталь атома водорода, то есть матричные элементы вида , где ri – это либо x, y, либо z компонента оператора положения, а m1 и m2 – магнитные квантовые числа, различающие различные орбитали в 2p или 4d подуровне. Если выполнять это напрямую, потребуется вычислить 45 различных интегралов: 3 варианта для m1 (−1, 0, 1), 5 вариантов для m2 (−2, −1, 0, 1, 2) и 3 варианта для i, что в сумме дает 3 × 5 × 3 = 45. Теорема Вигнера — Эккарта позволяет получить ту же информацию, вычислив лишь один из этих 45 интегралов (любой, при условии, что он отличен от нуля). Остальные 44 интеграла затем можно вывести из этого первого – без необходимости записывать волновые функции или вычислять интегралы – с помощью коэффициентов Клебша — Гордана, которые можно легко найти в таблице или вычислить вручную или с помощью компьютера.

Качественное резюме доказательств

Теорема Вигнера — Эккарта работает, потому что все 45 различных вычислений связаны друг с другом вращениями. Если электрон находится в одной из 2p-орбиталей, вращение системы обычно перемещает его в другую 2p-орбиталь (обычно он оказывается в квантовой суперпозиции всех трех базисных состояний, m = +1, 0, −1). Аналогично, если электрон находится в одной из 4d-орбиталей, вращение системы переместит его в другую 4d-орбиталь. Наконец, аналогичное утверждение справедливо и для оператора положения: при вращении системы три различные компоненты оператора положения эффективно переставляются или смешиваются. Если мы начнем с знания только одного из 45 значений (например, мы знаем, что) и затем повернем систему, мы можем заключить, что K также является матричным элементом между повернутой версией , повернутой версией , и повернутой версией . Это дает алгебраическое соотношение, включающее K и некоторые или все 44 неизвестных матричных элемента. Различные вращения системы приводят к различным алгебраическим соотношениям, и оказывается, что информации достаточно, чтобы определить все матричные элементы таким образом. (На практике, при решении этих уравнений, мы обычно применяем операторы углового момента к состояниям, а не вращаем сами состояния. Но это, по сути, одно и то же, благодаря тесной математической связи между вращениями и операторами углового момента.)

С точки зрения теории представления

Чтобы более точно сформулировать эти наблюдения и доказать их, полезно обратиться к математическому аппарату теории представлений. Например, множество всех возможных 4d-орбиталей (то есть 5 состояний m = −2, −1, 0, 1, 2 и их квантовые суперпозиции) образует 5-мерное абстрактное векторное пространство. Вращение системы преобразует эти состояния друг в друга, поэтому это пример "представления группы", в данном случае, 5-мерного неприводимого представления ("ирреп") группы вращений SU(2) или SO(3), также называемого "спиновым представлением 2". Аналогично, квантовые состояния 2p образуют 3-мерное ирреп (называемое "спин 1"), а компоненты оператора положения также образуют 3-мерное ирреп "спин 1". Теперь рассмотрим матричные элементы. Оказывается, что они преобразуются при вращениях в соответствии с тензорным произведением этих трех представлений, то есть спиновым представлением 2p-орбиталей, спиновым представлением компонент r и спиновым представлением 4d-орбиталей. Этот прямое произведение, 45-мерное представление SU(2), не является неприводимым представлением, вместо этого это прямая сумма спинового представления 4, двух спиновых представлений 3, трех спиновых представлений 2, двух спиновых представлений 1 и спинового представления 0 (то есть тривиального). Неравные нулю матричные элементы могут возникать только из подпространства спина 0. Теорема Вигнера — Эккарта работает, потому что разложение прямого произведения содержит одно и только одно подпространство спина 0, что подразумевает, что все матричные элементы определяются единственным масштабным фактором. Помимо общего масштабного фактора, вычисление матричного элемента эквивалентно вычислению проекции соответствующего абстрактного вектора (в 45-мерном пространстве) на подпространство спина 0. Результатами этого вычисления являются коэффициенты Клебша — Гордана. Ключевой качественный аспект разложения Клебша — Гордана, который обеспечивает работоспособность аргументации, заключается в том, что при разложении тензорного произведения двух неприводимых представлений каждое неприводимое представление встречается только один раз. Это позволяет использовать лемму Шура.