Кіріспе
Егер және тек егер белгілі бір элемент жиынға кірсе, 1-ге тең болатын шама. Математикада Дирак өлшемі жиынның нақты бір x элементін қамтымауына немесе қамтыуына қарай ғана оның мөлшерін анықтайды. Бұл физика және басқа техникалық салаларда маңызды қолданылатын Дирак дельта функциясының идеясын формальды түрде бейнелеудің бір жолы.
In mathematics, a Dirac measure assigns a size to a set based solely on whether it contains a fixed element x or not. It is one way of formalizing the idea of the Dirac delta function, an important tool in physics and other technical fields.
Дирак өлшемі қасиеттері
δx - белгілі бір өлшенетін кеңістіктегі (X, Σ) белгілі бір тұрақты нүктеге x ортақталған Дирак өлшемін білдірсін. δx – ықтималдық өлшемі, демек, шекті өлшем. Егер (X, T) топологиялық кеңістік болса және Σ – X кеңістігіндегі Борел σ-алгебрасы σ(T)-дан кем емес болса, онда δx – қатаң оң өлшем, егер және тек қана T топологиясы x әрбір бос емес ашық жиынның ішінде жатқан жағдайда ғана, мысалы, тривиальды топология жағдайында {∅, X}. δx ықтималдық өлшемі болғандықтан, ол сонымен қатар жергілікті шекті өлшем де болып табылады. Егер X – Борел σ-алгебрасы бар Хаусдорф топологиялық кеңістігі болса, онда δx ішкі реттелген өлшем болу шартын қанағаттандырады, себебі {x} сияқты бір элементті жиынтықтар әрқашан компактты болады. Сондықтан, δx – бұл Радон өлшемі де. Егер T топологиясы {x} жабық деп есептелетін болса, бұл көптеген қолдануларда орын алады, онда δx-тің қолдауы {x} болады. (Әйтпесе, supp(δx) – (X, T)-дегі {x} жиынының жабылуы.) Сонымен қатар, δx – {x} жиынына қолдау беретін жалғыз ықтималдық өлшем. Егер X – n өлшемді Евклид кеңістігі 'R'^(n) болса, оның әдеттегі σ-алгебрасы және n өлшемді Лебег өлшемі λ^(n) болса, онда δx – λ^(n)-ға қатысты сингулярлы өлшем: жай ғана 'R'^(n) кеңістігін 1=A = 'R'^(n) \ {x} және 1=B = {x} түрінде жіктеңіз және Дирак өлшемі сигма-шекті өлшем екенін байқаңыз.
δx is a strictly positive measure if and only if the topology T is such that x lies within every non empty open set, e. g. in the case of the trivial topology {∅, X}. Since δx is probability measure, it is also a locally finite measure. If X is a Hausdorff topological space with its Borel σ algebra, then δx satisfies the condition to be an inner regular measure, since singleton sets such as {x} are always compact. Hence, δx is also a Radon measure. Assuming that the topology T is fine enough that {x} is closed, which is the case in most applications, the support of δx is {x}. (Otherwise, supp(δx) is the closure of {x} in (X, T).) Furthermore, δx is the only probability measure whose support is {x}. If X is n dimensional Euclidean space 'R'^(n) with its usual σ algebra and n dimensional Lebesgue measure λ^(n), then δx is a singular measure with respect to λ^(n): simply decompose 'R'^(n) as 1=A = 'R'^(n) \ {x} and 1=B = {x} and observe that The Dirac measure is a sigma finite measure.
Жалпылау
Дискретті өлшем Дирак өлшеміне ұқсас, бірақ бір нүктеде емес, санаулы көп нүктеде шоғырланған. Нақтырақ айтқанда, нақты сызықтағы өлшем, егер оның таянышы санаулы жиын болса, дискретті өлшем деп аталады (Лебег өлшеміне қатысты).