Введение
Измерение, равное 1 тогда и только тогда, когда заданный элемент принадлежит множеству. В математике мера Дирака присваивает размер множеству, основываясь исключительно на том, содержит ли оно фиксированный элемент x или нет. Это один из способов формализации идеи дельта-функции Дирака, важного инструмента в физике и других технических областях.
In mathematics, a Dirac measure assigns a size to a set based solely on whether it contains a fixed element x or not. It is one way of formalizing the idea of the Dirac delta function, an important tool in physics and other technical fields.
Свойства меры Дирака
Пусть δx обозначает меру Дирака, сосредоточенную в некоторой фиксированной точке x в некотором измеримом пространстве (X, Σ). δx является мерой вероятности и, следовательно, конечной мерой. Предположим, что (X, T) – это топологическое пространство и что Σ по крайней мере столь же тонка, как борелевская σ-алгебра σ(T) на X.
δx is a strictly positive measure if and only if the topology T is such that x lies within every non empty open set, e. g. in the case of the trivial topology {∅, X}. Since δx is probability measure, it is also a locally finite measure. If X is a Hausdorff topological space with its Borel σ algebra, then δx satisfies the condition to be an inner regular measure, since singleton sets such as {x} are always compact. Hence, δx is also a Radon measure. Assuming that the topology T is fine enough that {x} is closed, which is the case in most applications, the support of δx is {x}. (Otherwise, supp(δx) is the closure of {x} in (X, T).) Furthermore, δx is the only probability measure whose support is {x}. If X is n dimensional Euclidean space 'R'^(n) with its usual σ algebra and n dimensional Lebesgue measure λ^(n), then δx is a singular measure with respect to λ^(n): simply decompose 'R'^(n) as 1=A = 'R'^(n) \ {x} and 1=B = {x} and observe that The Dirac measure is a sigma finite measure.
Мeра δx является строго положительной тогда и только тогда, когда топология T такова, что x принадлежит каждому непустому открытому множеству, например, в случае тривиальной топологии {∅, X}. Поскольку δx – мера вероятности, она также является локально конечной мерой. Если X – топологическое пространство Хаусдорфа с его борелевской σ-алгеброй, то δx удовлетворяет условию внутренней регулярности, поскольку одноэлементные множества, такие как {x}, всегда компактны. Следовательно, δx также является мерой Радона. Предполагая, что топология T достаточно тонка, чтобы {x} было замкнутым множеством, что справедливо в большинстве приложений, носитель δx равен {x}. (В противном случае, supp(δx) – это замыкание {x} в (X, T).) Кроме того, δx – единственная мера вероятности, носитель которой равен {x}. Если X – это n-мерное евклидово пространство Rⁿ с его обычной σ-алгеброй и n-мерной мерой Лебега λⁿ, то δx является сингулярной мерой по отношению к λⁿ: просто разложите Rⁿ как 1 = A = Rⁿ \ {x} и 1 = B = {x} и заметьте, что мера Дирака является сигма-конечной мерой.
δx is a strictly positive measure if and only if the topology T is such that x lies within every non empty open set, e. g. in the case of the trivial topology {∅, X}. Since δx is probability measure, it is also a locally finite measure. If X is a Hausdorff topological space with its Borel σ algebra, then δx satisfies the condition to be an inner regular measure, since singleton sets such as {x} are always compact. Hence, δx is also a Radon measure. Assuming that the topology T is fine enough that {x} is closed, which is the case in most applications, the support of δx is {x}. (Otherwise, supp(δx) is the closure of {x} in (X, T).) Furthermore, δx is the only probability measure whose support is {x}. If X is n dimensional Euclidean space 'R'^(n) with its usual σ algebra and n dimensional Lebesgue measure λ^(n), then δx is a singular measure with respect to λ^(n): simply decompose 'R'^(n) as 1=A = 'R'^(n) \ {x} and 1=B = {x} and observe that The Dirac measure is a sigma finite measure.
Обобщения
Дискретная мера аналогична мере Дирака, за исключением того, что она сосредоточена в счетном множестве точек вместо одной точки. Более формально, мера на вещественной прямой называется дискретной мерой (относительно меры Лебега), если её носитель является не более чем счётным множеством.