Кіріспе
Ықтималдықтар теориясындағы стохастикалық процесс. Ықтималдықтар теориясында, француз математигі Поль Леви есімімен аталған Леви процесі – тәуелсіз, стационарлық инкременттері бар стохастикалық процесс: ол бірінен соң бірі кездейсоқ орын ауыстырулар жасайтын нүктенің қозғалысын көрсетеді, мұнда өзара жанаспайтын уақыт аралықтарындағы орын ауыстырулар тәуелсіз, ал бірдей ұзындықтағы әртүрлі уақыт аралықтарындағы орын ауыстырулар бірдей ықтималдық таралымына ие. Леви процесін кездейсоқ серуеннің үздіксіз уақыт аналогы ретінде қарастыруға болады. Леви процестерінің ең белгілі мысалдары – Винер процесі, көбінесе Браун қозғалысы процесі және Пуассон процесі. Гамма процесі, Паскаль процесі және Мейкснер процесі де маңызды мысалдар болып табылады. Браун қозғалысының дрейфпен қоса алғандағы барлық басқа Леви процестерінің траекториялары үздіксіз емес. Барлық Леви процестері аддитивті процестер болып табылады.
In probability theory, a Lévy process, named after the French mathematician Paul Lévy, is a stochastic process with independent, stationary increments: it represents the motion of a point whose successive displacements are random, in which displacements in pairwise disjoint time intervals are independent, and displacements in different time intervals of the same length have identical probability distributions. A Lévy process may thus be viewed as the continuous time analog of a random walk. The most well known examples of Lévy processes are the Wiener process, often called the Brownian motion process, and the Poisson process. Further important examples include the Gamma process, the Pascal process, and the Meixner process. Aside from Brownian motion with drift, all other proper (that is, not deterministic) Lévy processes have discontinuous paths. All Lévy processes are additive processes.
Тәуелсіз өсімдер
Тұрақты уақыт-стохастикалық процесс кездейсоқ айнымалы Xt-ті уақыттың әрбір нүктесіне t ≥ 0 сәйкес қояды. Бұл, әсерлі түрде, t-ның кездейсоқ функциясы. Мұндай процестің өсімдері – әртүрлі уақыттардағы t < s мәндері арасындағы Xs − Xt айырмашылықтары болып табылады. Процестің өсімдері тәуелсіз деп айту, егер екі уақыт аралығы бір-бірімен тоғыспаса, Xs − Xt және Xu − Xv өсімдері тәуелсіз кездейсоқ айнымалылар екенін білдіреді. Көбірек айтқанда, жұп-жұп тоғыспайтын уақыт аралықтарына сәйкес келген кез келген шекті сандағы өсімдер өзара тәуелсіз болады (тек жұп емес).
Стационарлық өсімдер
Үдемеліліктерді стационарлық деп атау, кез келген үдемелілік Xt - Xs-тің ықтималдық үлестірімі тек уақыт аралығының ұзындығы t - s-ке ғана тәуелді дегенді білдіреді; тең ұзақтықтағы үдемеліліктер бірдей үлестірілген. Егер Венер процесі болса, Xt - Xs үдемелілігінің ықтималдық үлестірімі 0 күтілетін мәнімен және t - s дисперсиясымен қалыпты болады. Егер Пуассон процесі болса, Xt - Xs үдемелілігінің ықтималдық үлестірімі λ күтілетін мәнімен Пуассон үлестірімі, λ(t - s) тең болады, мұнда λ > 0 – процестің "интенсивтігі" немесе "көлемі". Егер Коши процесі болса, Xt - Xs үдемелілігінің ықтималдық үлестірімі тығыздығы бар Коши үлестірімі болады.
If is a Poisson process, the probability distribution of Xt − Xs is a Poisson distribution with expected value λ(t − s), where λ > 0 is the "intensity" or "rate" of the process. If is a Cauchy process, the probability distribution of Xt − Xs is a Cauchy distribution with density .
Шексіз бөлінбестік
Леви процесінің үлестірілуі шексіз бөлінгіштік қасиетіне ие: кез келген бүтін сан n үшін, t уақытындағы Леви процесінің заңы n тәуелсіз кездейсоқ шамалардың қосындысының заңы ретінде көрсетілуі мүмкін. Бұл шамалар – Леви процесінің t/n ұзақтығындағы уақыт аралықтарындағы өсімдері, және 2- және 3-шарттарға сәйкес, тәуелсіз және бірдей үлестірілген. Керісінше, әрбір шексіз бөлінетін ықтималдық үлестірімі үшін Леви процесі бар, онда оның заңы берілген .
Леви Итоның ыдырауы
Тәуелсіз кездейсоқ айнымалылардың сипаттама функциялары көбейтілгендіктен, Леви-Хинчин теоремасы әрбір Леви процесінің Браундық қозғалыс пен дрейфтің және басқа тәуелсіз кездейсоқ айнымалының, Леви секіру процесінің қосындысы екенін көрсетеді. Леви-Ито ыдырауы соңғысын тәуелсіз Пуассон кездейсоқ айнымалыларының (стохастикалық) қосындысы ретінде сипаттайды. Атап айтқанда, — яғни, -ның , ықтималдық шара ретінде қайта нормаланған шектеуі; сондай-ақ, (бірақ қайта масштабтамау керек). Біріншісі - интенсивтігі және бөліктері болған құрама Пуассон процесінің сипаттама функциясы. Екіншісі – өтелген жалпыланған Пуассон процесінің (CGPP) сипаттама функциясы: әрбір аралықта а.с. санауға болатын көптеген секіру үзілістері бар процесс, бірақ бұл үзілістердің шамасы -тан кіші. Егер , онда CGPP таза секіру процесі болады. Сондықтан, процестер тұрғысынан, келесідей ыдыратуға болады:
The former is the characteristic function of a compound Poisson process with intensity and child distribution The latter is that of a compensated generalized Poisson process (CGPP): a process with countably many jump discontinuities on every interval a. s., but such that those discontinuities are of magnitude less than If , then the CGPP is a pure jump process. Therefore in terms of processes one may decompose in the following way
where is the compound Poisson process with jumps larger than in absolute value and is the aforementioned compensated generalized Poisson process which is also a zero mean martingale.
мұнда - абсолютті мәні бойынша -тан үлкен секірулері бар құрама Пуассон процесі, ал - жоғарыда аталған өтелген жалпыланған Пуассон процесі, ол сондай-ақ нөлдік орташа мартингейл болып табылады.
The former is the characteristic function of a compound Poisson process with intensity and child distribution The latter is that of a compensated generalized Poisson process (CGPP): a process with countably many jump discontinuities on every interval a. s., but such that those discontinuities are of magnitude less than If , then the CGPP is a pure jump process. Therefore in terms of processes one may decompose in the following way
where is the compound Poisson process with jumps larger than in absolute value and is the aforementioned compensated generalized Poisson process which is also a zero mean martingale.
Жалпылау
Леви кездейсоқ өрісі – Леви процесінің көп өлшемді кеңейтілген түрі. Одан да жалпылама түрі – ыдырайтын процестер.