Введение

Стохастический процесс в теории вероятности
В теории вероятностей процесс Леви, названный в честь французского математика Поля Леви, — это стохастический процесс с независимыми и стационарными приращениями: он описывает движение точки, чьи последовательные перемещения случайны, причем перемещения в непересекающихся временных интервалах независимы, а перемещения в различных временных интервалах одинаковой длины имеют одинаковые распределения вероятностей. Таким образом, процесс Леви можно рассматривать как непрерывно-временной аналог случайного блуждания. Наиболее известными примерами процессов Леви являются процесс Винера, часто называемый процессом броуновского движения, и процесс Пуассона. К другим важным примерам относятся гамма-процесс, процесс Паскаля и процесс Мейкснера. За исключением броуновского движения с дрейфом, все остальные нетривиальные (то есть недетерминированные) процессы Леви имеют разрывные траектории. Все процессы Леви являются аддитивными процессами.

Независимые приращения

Продолжительный стохастический процесс времени присваивает случайную величину Xt каждой точке t ≥ 0. По сути, это случайная функция от t. Инкременты такого процесса – это разности Xs − Xt между его значениями в различные моменты времени t < s. Говорить, что инкременты процесса независимы, означает, что инкременты Xs − Xt и Xu − Xv являются независимыми случайными величинами, когда два временных интервала не пересекаются, и, в более общем смысле, любое конечное число инкрементов, соответствующих попарно непересекающимся временным интервалам, являются взаимно независимыми (а не только попарно независимыми).

Стационарные прибавки

Называть инкременты стационарными означает, что распределение вероятности любого инкремента Xt − Xs зависит только от длины временного интервала t − s; инкременты на одинаково длинных временных интервалах имеют одинаковое распределение. Если является винеровским процессом, то распределение вероятности Xt − Xs нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией t − s.

Если является пуассоновским процессом, то распределение вероятности Xt − Xs подчиняется распределению Пуассона с математическим ожиданием λ(t − s), где λ > 0 является "интенсивностью" или "скоростью" процесса. Если является процессом Коши, то распределение вероятности Xt − Xs подчиняется распределению Коши с плотностью .

Бесконечная делимость

Распределение процесса Леви обладает свойством бесконечной делимости: для любого целого числа n закон процесса Леви в момент времени t может быть представлен как закон суммы n независимых случайных величин, которые являются приращениями процесса Леви на временных интервалах длины t/n, которые, согласно предположениям 2 и 3, независимы и одинаково распределены. Обратно, для каждого бесконечно делимого распределения вероятностей существует процесс Леви, такой что закон этого процесса задается этим распределением.

Разложение Леви Ито

Поскольку характерные функции независимых случайных величин перемножаются, теорема Леви — Хинчина предполагает, что каждый процесс Леви является суммой броуновского движения с дрейфом и другой независимой случайной величины, процесса прыжков Леви. Разложение Леви — Ито описывает последний как (стохастическую) сумму независимых случайных величин Пуассона. Пусть — то есть ограничение на , нормированное так, чтобы быть мерой вероятности; аналогично, пусть (но не нормировать). Тогда

Первый является характеристической функцией составного процесса Пуассона с интенсивностью и распределением величины прыжка. Второй — характеристическая функция компенсированного обобщенного процесса Пуассона (CGPP): процесса с счетным числом точек разрыва на каждом интервале почти наверное, но так, что величина этих разрывов меньше . Если , то CGPP является процессом с чистыми скачками. Следовательно, с точки зрения процессов, можно разложить следующим образом:

где — составной процесс Пуассона с прыжками по абсолютной величине больше , а — вышеупомянутый компенсированный обобщенный процесс Пуассона, который также является мартингалом с нулевым математическим ожиданием.

Обобщение

Случайное поле Леви — это многомерное обобщение процесса Леви. Процессы разложимости являются еще более общими.