Кіріспе

Гомотопия теориясында қолданылатын математикалық құрылым. Математикада, симплициалды жиын – белгілі бір тәртіппен симплекстерден құралған объект. Симплициалды жиындар – бағытталған графтардың, ішінара реттелген жиындардың және санаттардың жоғары өлшемді жалпыламалары. Формальды түрде, симплициалды жиынды симплекс санатынан жиындар санатына дейінгі ковариантты функтор ретінде анықтауға болады. Симплициалды жиындарды 1950 жылы Самуэль Эйленберг және Джозеф А. Зилбер енгізді. Кез келген симплициалды жиын геометриялық іске асыру деп аталатын «жақсы» топологиялық кеңістікке алып келеді. Бұл іске асыру геометриялық симплекстерден тұрады, олар симплициалды жиынның ережелеріне сәйкес біріктіріледі. Шындығында, симплициалды жиынды гомотопия теориясы үшін «жақсы мінез-құлықты» топологиялық кеңістіктің мәнін ұстауға арналған таза комбинаторлық құрылым ретінде қарастыруға болады. Нақтырақ айтқанда, симплициалды жиындар санаты табиғи модельдік құрылымды қамтиды, ал сәйкес гомотопиялық санат топологиялық кеңістіктердің белгілі гомотопиялық санатына эквивалентті. Симплициалды жиындар жоғары санаттар теориясының негізгі ұғымы – квази-категорияларды анықтау үшін қолданылады. Симплициалды жиындарға ұқсас құрылым кез келген санатта, тек жиындар санатында ғана емес, симплициалды объектілер ұғымын тудырады.

Мотивация

Симплициалдық жиын — бұл категориялық (яғни, таза алгебралық) модель, симплекстер мен олардың инциденттік қатынастары арқылы құрастырылатын (немесе гомотопияға дейін адал түрде бейнеленетін) топологиялық кеңістіктерді қамтиды. Бұл CW кешендерінің топологиялық кеңістіктерді модельдеуге қатысты тәсіліне ұқсас, бірақ маңызды айырмашылығы — симплициалдық жиындар таза алгебралық болып табылады және нақты топологияны қамтымайды. Нақты топологиялық кеңістіктерге оралу үшін геометриялық іске асыру функторы бар, ол симплициалдық жиындарды компактты түрде жасалған Хаусдорф кеңістіктеріне айналдырады. Гомотопия теориясындағы CW кешендеріне қатысты көптеген классикалық нәтижелер симплициалдық жиындар үшін де сәйкес нәтижелермен жалпыланады. Алгебралық топологтар көбінесе CW кешендерін пайдалануды ұнататын болса да, CW кешендері табиғи түрде туындамайтын алгебралық геометрия саласында қолдану үшін симплициалдық жиындарды пайдалануға қызығушылық танытқан зерттеушілердің саны артып келеді.

Интуиция

Қарапайым жиынтықтарды бағытталған мультиграфтардың жоғары өлшемді жалпылауы ретінде қарастыруға болады. Симплициалдық жиынтықта нүктелер (осы жағдайда "0-симплекс" деп аталады) және осы нүктелердің арасындағы жебелер ("1-симплекс") болады. Екі нүкте бірнеше жебелермен байланыстырылуы мүмкін, сонымен қатар нүктенің өзіне-өзіне байланыстыратын бағытталған циклдарға да рұқсат етіледі. Бағытталған мультиграфтардан айырмашылығы, симплициалдық жиынтықтарда жоғары симплекстер де болуы мүмкін. Мысалы, 2-симплексті А, В, С үш нүктесімен және B → C, A → C және A → B үш жебесімен шектелген екі өлшемді "үшбұрышты" пішін ретінде қарастыруға болады. Жалпы, n-симплекс – n + 1 нүктеден (олар 0-симплекс) және n + 1 беттен (олар (n − 1)-симплекс) құралған объект. I-бетінің нүктелері n-симплекстің нүктелерінен i-нүктесін алып тастау арқылы алынады. Симплекстің нүктелері әртүрлі болуы міндетті емес, және симплекс оның нүктелері мен беттерімен толық анықталмайды: екі түрлі симплекс бірдей беттер тізімін (соответственно, нүктелер тізімін) бөлісе алады, дәл мультиграфтағы екі түрлі жебе бірдей екі нүктені байланыстыра алады. Қарапайым жиынтықтарды қарапайым бағытталмаған графтарды бағытталған мультиграфтардан гөрі жалпылайтын абстрактілік симплициалдық кешендермен шатастыруға болмайды. Формальды түрде, X-тың симплициалдық жиынтығы – Xn, n = 0, 1, 2, … жиынтықтарының жиынтығы, осы жиынтықтар арасындағы белгілі бір бейнелеулермен бірге: беттік бейнелеулер dn,i: Xn → Xn−1 (n = 1, 2, 3, … және 0 ≤ i ≤ n) және дегенерациялық бейнелеулер sn,i: Xn → Xn+1 (n = 0, 1, 2, … және 0 ≤ i ≤ n). Біз Xn элементтерін X-тың n-симплекстері деп қарастырамыз. dn,i бейнелеуі әрбір осындай n-симплекске оның i-бетін, яғни i-нүктесін қамтымайтын (i-нүктесіне "қарсы") бетін сәйкестендіреді. sn,i бейнелеуі әрбір n-симплекске i-нүктесін екі рет қайталау арқылы алынған дегенеративті (n+1)-симплексті сәйкестендіреді. Бұл сипаттама dn,i және sn,i бейнелеулері арасындағы белгілі бір үйлесімділік қатынастарын талап етеді. Бұл симплициалдық теңдіктерін анықтаманың бір бөлігі ретінде тікелей талап етудің орнына, қазіргі заманғы қысқа және әдемі анықтама категориялар теориясының тілін қолданады.

Мысалдар

Ішінара реттелген жиынтық (S,≤) берілгенде, S-тің нерві NS-ті келесідей анықтаймыз: Δ-ның әрбір [n] объекісі үшін NS([n]) = hompo set([n], S) деп қоямыз, яғни [n]-ден S-ке дейінгі реттілік сақтайтын гомоморфизмдер жиыны. Δ-дағы әрбір φ:[n]→[m] морфизмі реттілік сақтайтын карта болып табылады және композиция арқылы NS(φ) : NS([m]) → NS([n]) картасын тудырады. NS-тің Δ-дан Set-ке дейінгі ковариантты функтор екенін тексеру оңай: симплициалды жиын. Нақтырақ айтқанда, NS нервінің n-симплекстері, яғни NSn=NS([n]) элементтерін S элементтерінің реттелген (n+1) ұзындықтағы тізбектері ретінде қарастыруға болады: (a₀ ≤ a₁ ≤ … ≤ aₙ). Беттік карта dᵢ мұндай тізімнен i-інші элементті жояды, ал дегенерациялық карта sᵢ i-інші элементті қайталайды. Осыған ұқсас құрылымды кез келген C санаты үшін де жасауға болады, нәтижесінде C санатының нерві NC пайда болады. Мұнда NC([n]) – [n]-дан C-ге дейінгі барлық функторлар жиыны, мұнда [n] 0, 1, …, n объектілері және i ≤ j болғанда i-ден j-ге дейінгі жалғыз морфизм бар санаты ретінде қарастырылады. Нақтырақ айтқанда, NC нервінің n-симплекстерін C-дегі n құрастырылатын морфизмдер тізбектері ретінде қарастыруға болады: a₀ → a₁ → … → aₙ. (Атап айтқанда, 0-симплекстер C санатының объектілері, ал 1-симплекстер C санатының морфизмдері болып табылады.) Беттік карта d₀ мұндай тізімнен бірінші морфизмді жояды, беттік карта dₙ соңғы морфизмді жояды, ал 0 < i < n үшін беттік карта dᵢ aᵢ-ді жояды және i-інші және (i+1)-інші морфизмдерді біріктіреді. Дегенерациялық карталар sᵢ тізбекті i-інші орында сәйкес морфизмді қосу арқылы ұзартады. NS нервінен S жиынтығын және NC нервінен C санатын қалпына келтіруге болады; осылайша симплициалды жиынтықтар жиынтықтар мен санаттарды жалпылайды. Симплициалды жиынтықтардың тағы бір маңызды классы – Y топологиялық кеңістігінің сингулярлық жиынтығы SY. Мұнда SYₙ стандартты топологиялық n-симплекстен Y-ға дейінгі барлық үздіксіз функциялардан тұрады. Сингулярлық жиынтық төменде егжей-тегжейлі түсіндіріледі.

Стандартты n-симплекс және қарапайымдардың санаты

Стандартты n симплекс, Δn деп белгіленеді, бұл функтор ретінде анықталатын симплекстік жиын homΔ( , [n]), мұндағы [n] бірінші (n + 1) теріс емес бүтін сандардың реттелген жиынтығын {0, 1, …, n} білдіреді. (Көптеген мәтіндерде ол hom([n], ) деп жазылады, мұндағы гоможет қарама-қарсы категорияда Δop деп түсініледі.) Йонеда леммасы бойынша, симпликалық жиын X-тің n симплекстері Δn-ден X-ке дейінгі табиғи түрлендірулермен бір-бірге сәйкес келеді, яғни. Сонымен қатар, X симплекстердің санатын тудырады, оның объектілері – карталар (яғни табиғи түрлендірулер) Δn → X, ал морфизмдері – X арқылы Δn → Δm табиғи түрлендірулері, [n] → [m] карталарынан Δ-да туындайды. Яғни, бұл X үстіндегі Δ-ның кесінді санаты. Келесі изоморфизм симпликалық жиын X өзінің симплекстерінің колимиті екенін көрсетеді:

мұнда колимит X симплекстерінің санаты бойынша алынады.