Симплициальные множества в гомотопической теории

Введение

Математическая конструкция, используемая в теории гомотопий.
В математике, симплициальный набор – это объект, составленный из симплексов определённым образом. Симплициальные наборы являются обобщениями направленных графов, частично упорядоченных множеств и категорий на более высокие размерности. Формально, симплициальный набор может быть определён как контравариантный функтор из категории симплексов в категорию множеств. Симплициальные наборы были введены в 1950 году Сэмюэлем Эйленбергом и Джозефом А. Зильбером. Каждый симплициальный набор порождает "хорошее" топологическое пространство, известное как его геометрическая реализация. Эта реализация состоит из геометрических симплексов, склеенных вместе в соответствии с правилами симплициального набора. Фактически, симплициальный набор можно рассматривать как чисто комбинаторную конструкцию, предназначенную для отражения сущности "хорошо определённого" топологического пространства для целей теории гомотопий. В частности, категория симплициальных наборов несёт в себе естественную модельную структуру, а соответствующая гомотопическая категория эквивалентна привычной гомотопической категории топологических пространств. Симплициальные наборы используются для определения квазикатегорий, базового понятия теории высших категорий. Аналогичная конструкция симплициальных наборов может быть выполнена в любой категории, а не только в категории множеств, что приводит к понятию симплициальных объектов.

Мотивация

Симплициальный набор — это категорическая (то есть, чисто алгебраическая) модель, описывающая топологические пространства, которые могут быть построены (или верно представлены с точностью до гомотопии) из симплексов и их отношений инцидентности. Это похоже на подход CW-комплексов к моделированию топологических пространств, но принципиальное отличие состоит в том, что симплициальные наборы являются чисто алгебраическими и не содержат никакой фактической топологии. Для возврата к фактическим топологическим пространствам существует функтор геометрической реализации, который преобразует симплициальные наборы в компактно порожденные хаусдорфовы пространства. Большинство классических результатов о CW-комплексах в теории гомотопии обобщаются на аналогичные результаты для симплициальных наборов. Хотя алгебраические топологи в основном продолжают отдавать предпочтение CW-комплексам, растет число исследователей, заинтересованных в использовании симплициальных наборов для приложений в алгебраической геометрии, где CW-комплексы не существуют естественным образом.

Интуиция

Упрощенные множества можно рассматривать как более высокомерное обобщение направленных мультиграфов. Симплициальный набор содержит вершины (известные как "0-симплексы" в этом контексте) и стрелки ("1-симплексы") между некоторыми из этих вершин. Две вершины могут быть соединены несколькими стрелками, и допускаются направленные петли, соединяющие вершину с самой собой. В отличие от направленных мультиграфов, упрощенные множества могут также содержать симплексы более высокой размерности. Например, 2-симплекс можно представить как двумерную "треугольную" фигуру, ограниченную списком из трех вершин A, B, C и трех стрелок B → C, A → C и A → B. В общем случае, n-симплекс – это объект, состоящий из списка n + 1 вершин (которые являются 0-симплексами) и n + 1 граней (которые являются (n − 1)-симплексами). Вершины i-й грани – это вершины n-симплекса без i-й вершины. Вершины симплекса не обязаны быть различными, и симплекс не определяется своими вершинами и гранями: два различных симплекса могут иметь один и тот же список граней (и, следовательно, один и тот же список вершин), как и две различные стрелки в мультиграфе могут соединять одни и те же две вершины. Не следует путать упрощенные множества с абстрактными симплициальными комплексами, которые обобщают простые неориентированные графы, а не направленные мультиграфы. Формально, упрощенное множество X представляет собой коллекцию множеств Xn, n = 0, 1, 2, …, вместе с определенными отображениями между этими множествами: отображениями граней dn,i: Xn → Xn−1 (n = 1, 2, 3, … и 0 ≤ i ≤ n) и отображениями вырождения sn,i: Xn → Xn+1 (n = 0, 1, 2, … и 0 ≤ i ≤ n). Мы рассматриваем элементы Xn как n-симплексы X. Отображение dn,i сопоставляет каждому такому n-симплексу его i-ю грань, грань, "противоположную" (т.е. не содержащую) i-ю вершину. Отображение sn,i сопоставляет каждому n-симплексу вырожденный (n+1)-симплекс, получаемый из данного путем дублирования i-й вершины. Это описание неявно требует определенных соотношений согласованности между отображениями dn,i и sn,i. Вместо того, чтобы явно требовать эти симплициальные тождества как часть определения, короткое и элегантное современное определение использует язык теории категорий.

Simplicial sets can be viewed as a higher dimensional generalization of directed multigraphs. A simplicial set contains vertices (known as "0 simplices" in this context) and arrows ("1 simplices") between some of these vertices. Two vertices may be connected by several arrows, and directed loops that connect a vertex to itself are also allowed. Unlike directed multigraphs, simplicial sets may also contain higher simplices. A 2 simplex, for instance, can be thought of as a two dimensional "triangular" shape bounded by a list of three vertices A, B, C and three arrows B → C, A → C and A → B. In general, an n simplex is an object made up from a list of n + 1 vertices (which are 0 simplices) and n + 1 faces (which are (n − 1) simplices). The vertices of the i th face are the vertices of the n simplex minus the i th vertex. The vertices of a simplex need not be distinct and a simplex is not determined by its vertices and faces: two different simplices may share the same list of faces (and therefore the same list of vertices), just like two different arrows in a multigraph may connect the same two vertices. Simplicial sets should not be confused with abstract simplicial complexes, which generalize simple undirected graphs rather than directed multigraphs. Formally, a simplicial set X is a collection of sets Xn, n = 0, 1, 2, , together with certain maps between these sets: the face maps dn,i : Xn → Xn−1 (n = 1, 2, 3, and 0 ≤ i ≤ n) and degeneracy maps sn,i : Xn→Xn+1 (n = 0, 1, 2, and 0 ≤ i ≤ n). We think of the elements of Xn as the n simplices of X. The map dn,i assigns to each such n simplex its i th face, the face "opposite to" (i. e. not containing) the i th vertex. The map sn,i assigns to each n simplex the degenerate (n+1) simplex which arises from the given one by duplicating the i th vertex. This description implicitly requires certain consistency relations among the maps dn,i and sn,i. Rather than requiring these simplicial identities explicitly as part of the definition, the short and elegant modern definition uses the language of category theory.

Примеры

Для частично упорядоченного множества (S, ≤) можно определить симплициальное множество NS, нерв S, следующим образом: для каждого объекта [n] из Δ мы задаём NS([n]) = hompo set([n], S) – множество отображений, сохраняющих порядок, из [n] в S. Каждый морфизм φ: [n] → [m] в Δ является отображением, сохраняющим порядок, и посредством композиции индуцирует отображение NS(φ): NS([m]) → NS([n]). Прямо проверить, что NS является контравариантным функтором из Δ в Set, то есть симплициальным множеством. Конкретно, n-симплексы нерва NS, то есть элементы NSn = NS([n]), можно рассматривать как упорядоченные последовательности длины (n+1) из элементов S: (a₀ ≤ a₁ ≤ … ≤ aₙ). Граничное отображение dᵢ удаляет i-й элемент из такой последовательности, а вырождающее отображение sᵢ дублирует i-й элемент. Аналогичную конструкцию можно выполнить для каждой категории C, чтобы получить нерв NC категории C. Здесь NC([n]) – это множество всех функторов из [n] в C, где мы рассматриваем [n] как категорию с объектами 0, 1, …, n и единственным морфизмом из i в j, когда i ≤ j. Конкретно, n-симплексы нерва NC можно рассматривать как последовательности из n композируемых морфизмов в C: a₀ → a₁ → … → aₙ. (В частности, 0-симплексы – это объекты C, а 1-симплексы – морфизмы C.) Граничное отображение d₀ удаляет первый морфизм из такой последовательности, граничное отображение dₙ удаляет последний, а граничное отображение dᵢ для 0 < i < n удаляет aᵢ и композирует i-й и (i+1)-й морфизмы. Вырождающие отображения sᵢ удлиняют последовательность, вставляя тождественный морфизм в позицию i. Мы можем восстановить частично упорядоченное множество S из нерва NS и категорию C из нерва NC; в этом смысле симплициальные множества обобщают частично упорядоченные множества и категории. Другой важный класс примеров симплициальных множеств задаётся сингулярным множеством SY топологического пространства Y. Здесь SYₙ состоит из всех непрерывных отображений из стандартного топологического n-симплекса в Y. Сингулярное множество объясняется далее.

Стандартный n-симплекс и категория простой

Стандартный n-симплекс, обозначаемый Δn, — это симплициальный комплекс, определяемый как функтор homΔ( , [n]), где [n] обозначает упорядоченное множество {0, 1, …, n} первых (n + 1) неотрицательных целых чисел. (Во многих текстах это записывается как hom([n], ), где hom-множество понимается в противоположной категории Δop.) По лемме Йонеды, n-симплексы симплициального комплекса X находятся во взаимно однозначном соответствии с естественными преобразованиями из Δn в X, то есть… Кроме того, X порождает категорию симплексов, обозначаемую , объектами которой являются отображения (то есть естественные преобразования) Δn → X, а морфизмы — это естественные преобразования Δn → Δm над X, возникающие из отображений [n] → [m] в Δ. То есть, это категория сечений Δ/X. Следующий изоморфизм показывает, что симплициальный комплекс X является колимитом своих симплексов: где колимит берется по категории симплексов X.