Кіріспе
Вигнердің жарты шеңберлік үлестірімі – физик Юджин Вигнердің есімімен аталатын, [−R, R] аралығындағы ықтималдық үлестірімі. Оның ықтималдық тығыздық функциясы f, (0, 0) центрінде орналасқан, масштабталған жарты шеңбер (яғни жартылай эллипс) түрінде келесідей беріледі:
−R ≤ x ≤ R үшін, ал |x| > R болғанда f(x) = 0. R параметрі – бұл үлестірілімнің "радиус" параметрі деп аталады. Бұл үлестірілім көптеген кездейсоқ симметриялық матрицалардың өзіндік мәндерінің лимиттік үлестірілімі ретінде туындайды, яғни кездейсоқ матрицаның өлшемдері шексізге жақындағанда. Өзіндік мәндер арасындағы аралықтардың немесе бос орындардың үлестірілімі Вигнер болжамы деп аталатын ұқсас атаумен қарастырылады.
Жалпы қасиеттері
Симметрияның арқасында Вигнер таралымының барлық тақ реттік моменттері нөлге тең. Оң бүтін сандар үшін n, осы таралымның 2n-шы моменті келесідей:
In the typical special case that , this sequence coincides with the Catalan numbers 1, 2, 5, 14, etc. In particular, the second moment is and the fourth moment is , which shows that the excess kurtosis is −1. As can be calculated using the residue theorem, the Stieltjes transform of the Wigner distribution is given by
for complex numbers z with positive imaginary part, where the complex square root is taken to have positive imaginary part. The Wigner distribution coincides with a scaled and shifted beta distribution: if Y is a beta distributed random variable with parameters , then the random variable 2RY – R exhibits a Wigner semicircle distribution with radius R. By this transformation it is direct to compute some statistical quantities for the Wigner distribution in terms of those for the beta distributions, which are better known. In particular, it is direct to recover the characteristic function of the Wigner distribution from that of Y:
where 1F1 is the confluent hypergeometric function and J1 is the Bessel function of the first kind. Likewise the moment generating function can be calculated as
where I1 is the modified Bessel function of the first kind. The final equalities in both of the above lines are well known identities relating the confluent hypergeometric function with the Bessel functions. The Chebyshev polynomials of the third kind are orthogonal polynomials with respect to the Wigner semicircle distribution of radius 1.
Типикалық ерекше жағдайда, бұл тізбек Каталан сандарымен 1, 2, 5, 14, және т.б. сәйкес келеді. Атап айтқанда, екінші момент – және төртінші момент – , бұл артық куртоздың -1 екенін көрсетеді. Қалдық теоремасын қолданып есептегенде, Вигнер таралымының Стильджес түрлендіруі оң қиял бөлігі бар z кешенді сандары үшін былай беріледі, мұнда күрделі квадрат түбірдің оң қиял бөлігі алынады. Вигнер таралымы масштабталған және ығыстырылған бета таралымымен сәйкес келеді: егер Y параметрлері бар бета таратылған кездейсоқ айнымалы болса, онда 2RY – R кездейсоқ айнымалысы R радиусы бар Вигнер жартылай шеңберлік таралымын көрсетеді. Бұл түрлендіру арқылы Вигнер таралымының кейбір статистикалық шамаларын бета таралымдары арқылы есептеу оңай, ал бета таралымдары жақсы белгілі. Атап айтқанда, Вигнер таралымының сипаттамалық функциясын Y-дан қалпына келтіруге болады:
In the typical special case that , this sequence coincides with the Catalan numbers 1, 2, 5, 14, etc. In particular, the second moment is and the fourth moment is , which shows that the excess kurtosis is −1. As can be calculated using the residue theorem, the Stieltjes transform of the Wigner distribution is given by
for complex numbers z with positive imaginary part, where the complex square root is taken to have positive imaginary part. The Wigner distribution coincides with a scaled and shifted beta distribution: if Y is a beta distributed random variable with parameters , then the random variable 2RY – R exhibits a Wigner semicircle distribution with radius R. By this transformation it is direct to compute some statistical quantities for the Wigner distribution in terms of those for the beta distributions, which are better known. In particular, it is direct to recover the characteristic function of the Wigner distribution from that of Y:
where 1F1 is the confluent hypergeometric function and J1 is the Bessel function of the first kind. Likewise the moment generating function can be calculated as
where I1 is the modified Bessel function of the first kind. The final equalities in both of the above lines are well known identities relating the confluent hypergeometric function with the Bessel functions. The Chebyshev polynomials of the third kind are orthogonal polynomials with respect to the Wigner semicircle distribution of radius 1.
мұнда 1F1 – конфлюентті гипергеометриялық функция, ал J1 – бірінші тектес Бессел функциясы. Сол сияқты, моменттерді тудыратын функцияны да есептеуге болады:
In the typical special case that , this sequence coincides with the Catalan numbers 1, 2, 5, 14, etc. In particular, the second moment is and the fourth moment is , which shows that the excess kurtosis is −1. As can be calculated using the residue theorem, the Stieltjes transform of the Wigner distribution is given by
for complex numbers z with positive imaginary part, where the complex square root is taken to have positive imaginary part. The Wigner distribution coincides with a scaled and shifted beta distribution: if Y is a beta distributed random variable with parameters , then the random variable 2RY – R exhibits a Wigner semicircle distribution with radius R. By this transformation it is direct to compute some statistical quantities for the Wigner distribution in terms of those for the beta distributions, which are better known. In particular, it is direct to recover the characteristic function of the Wigner distribution from that of Y:
where 1F1 is the confluent hypergeometric function and J1 is the Bessel function of the first kind. Likewise the moment generating function can be calculated as
where I1 is the modified Bessel function of the first kind. The final equalities in both of the above lines are well known identities relating the confluent hypergeometric function with the Bessel functions. The Chebyshev polynomials of the third kind are orthogonal polynomials with respect to the Wigner semicircle distribution of radius 1.
мұнда I1 – бірінші тектес модификацияланған Бессел функциясы. Жоғарыдағы екі қатардағы соңғы теңдіктер – конфлюентті гипергеометриялық функцияны Бессел функцияларымен байланыстыратын белгілі теңдіктер. Үшінші тектес Чебышев полиномдары радиусы 1-ге қатысты Вигнер жартылай шеңберлік таралымына қатысты ортогональ полиномдар болып табылады.
In the typical special case that , this sequence coincides with the Catalan numbers 1, 2, 5, 14, etc. In particular, the second moment is and the fourth moment is , which shows that the excess kurtosis is −1. As can be calculated using the residue theorem, the Stieltjes transform of the Wigner distribution is given by
for complex numbers z with positive imaginary part, where the complex square root is taken to have positive imaginary part. The Wigner distribution coincides with a scaled and shifted beta distribution: if Y is a beta distributed random variable with parameters , then the random variable 2RY – R exhibits a Wigner semicircle distribution with radius R. By this transformation it is direct to compute some statistical quantities for the Wigner distribution in terms of those for the beta distributions, which are better known. In particular, it is direct to recover the characteristic function of the Wigner distribution from that of Y:
where 1F1 is the confluent hypergeometric function and J1 is the Bessel function of the first kind. Likewise the moment generating function can be calculated as
where I1 is the modified Bessel function of the first kind. The final equalities in both of the above lines are well known identities relating the confluent hypergeometric function with the Bessel functions. The Chebyshev polynomials of the third kind are orthogonal polynomials with respect to the Wigner semicircle distribution of radius 1.
Еркін ықтималдықпен қатынасы
Еркін ықтималдық теориясында Вигнердің жартылай шеңберлік үлестірілімінің рөлі классикалық ықтималдық теориясындағы қалыпты үлестірілімге ұқсас. Атап айтқанда, еркін ықтималдық теориясында кумуляттардың орнын "еркін кумуляттар" басады, олардың обыкновенный кумуляттармен байланысы мынада: обыкновенный кумуляттар теориясындағы шекті жиынның барлық бөліністері жиыны, шекті жиынның барлық қиылыспайтын бөліністері жиынымен алмастырылады. Егер ықтималдық үлестірімінің 2-ден жоғары дәрежелі кумуляттарының бәрі нөлге тең болса және тек қана сол үлестірілім қалыпты болса, сондай-ақ, егер ықтималдық үлестірімінің 2-ден жоғары дәрежелі еркін кумуляттарының бәрі нөлге тең болса, онда ол Вигнердің жартылай шеңберлік үлестірілімі болады.
in free probability theory, the role of cumulants is occupied by "free cumulants", whose relation to ordinary cumulants is simply that the role of the set of all partitions of a finite set in the theory of ordinary cumulants is replaced by the set of all noncrossing partitions of a finite set. Just as the cumulants of degree more than 2 of a probability distribution are all zero if and only if the distribution is normal, so also, the free cumulants of degree more than 2 of a probability distribution are all zero if and only if the distribution is Wigner's semicircle distribution.