Введение

Полукруговое распределение Вигнера, названное в честь физика Юджина Вигнера, — это распределение вероятностей на отрезке [−R, R], функция плотности вероятностей f которого представляет собой масштабированный полукруг (то есть полуэллипс) с центром в точке (0, 0):

для −R ≤ x ≤ R, и f(x) = 0 при |x| > R. Параметр R обычно называют параметром "радиуса" этого распределения. Это распределение возникает как предельное распределение собственных значений многих случайных симметричных матриц, то есть при стремлении размерности случайной матрицы к бесконечности. Распределение расстояний или промежутков между собственными значениями описывается аналогичным образом названной гипотезой Вигнера.

Общие свойства

Из-за симметрии все моменты нечетного порядка распределения Вигнера равны нулю. Для положительных целых чисел n, 2n-й момент этого распределения равен

В типичном специальном случае , эта последовательность совпадает с числами Каталана 1, 2, 5, 14 и т. д. В частности, второй момент равен , а четвертый момент равен , что показывает, что эксцесс равен −1. Как можно вычислить с помощью теоремы о вычетах, преобразование Стильтьеса распределения Вигнера задается выражением

для комплексных чисел z с положительной мнимой частью, где комплексный квадратный корень выбирается с положительной мнимой частью. Распределение Вигнера совпадает с масштабированным и сдвинутым бета-распределением: если Y – случайная величина, распределенная по закону Бета с параметрами , то случайная величина 2RY – R имеет полукруговое распределение Вигнера с радиусом R. Благодаря этому преобразованию можно непосредственно вычислить некоторые статистические характеристики распределения Вигнера через характеристики бета-распределений, которые лучше известны. В частности, можно непосредственно восстановить характеристическую функцию распределения Вигнера из характеристической функции Y:

где 1F1 – это обобщенная гипергеометрическая функция, а J1 – функция Бесселя первого рода. Аналогично, можно вычислить производящую функцию моментов как

где I1 – модифицированная функция Бесселя первого рода. Конечные равенства в обеих вышеприведенных строках – хорошо известные тождества, связывающие обобщенную гипергеометрическую функцию с функциями Бесселя. Полиномы Чебышева третьего рода – ортогональные полиномы относительно полукругового распределения Вигнера радиуса 1.

Отношение к свободной вероятности

В теории свободной вероятности роль полукруглого распределения Вигнера аналогична роли нормального распределения в классической теории вероятности. А именно, в теории свободной вероятности роль кумулянтов играют "свободные кумулянты", связь которых с обычными кумулянтами заключается в том, что множество всех разбиений конечного множества, используемое в теории обычных кумулянтов, заменяется множеством всех непересекающихся разбиений конечного множества. Подобно тому, как кумулянты степени выше 2 распределения вероятностей равны нулю тогда и только тогда, когда распределение является нормальным, свободные кумулянты степени выше 2 распределения вероятностей равны нулю тогда и только тогда, когда распределение представляет собой полукруглое распределение Вигнера.