Кіріспе
Математикада, әсіресе алгебралық өрістер теориясында, қалыпты негіз – Галуа тобының бір орбитасын құрайтын, шекті дәрежелі Галуа кеңейтулері үшін ерекше негіз. Нормалды негіз теоремасы кез келген шекті Галуа кеңейтуінің қалыпты негізі болатынын көрсетеді. Алгебралық сандар теориясында, қалыпты интегралды негіздің болуына қатысты одан да нақты мәселені зерттеу Галуа модулі теориясының бір бөлігі болып табылады.
Нормалды негіз теоремасы
Галуа тобымен Галуа кеңейтімі болсын. Классикалық қалыпты негіз теоремасы K-ның F-ге векторлық кеңістік ретінде қарастырылғанда негізін құрайтын элемент бар екенін мәлімдейді. Яғни, кез келген элементті кейбір элементтер арқылы бірегей түрде жазуға болады.
Қалыпты негіз, минималдық полиномы дәрежесіне тең элемент болатын элементтің негізінен, мысалы, ерекшеленеді.
Топтық өкілдіктің көзқарасы
G Галуа тобымен өрістің кеңейтілуі K / F табиғи түрде F өрісі бойынша G тобының өрнектелуі ретінде қарастырылуы мүмкін, онда әрбір автоморфизм өзінің өзі ретінде өрнектеледі. G-нің F өрісі бойынша өрнектелулері F[G] тобы алгебрасының сол модульдері ретінде қарастырылуы мүмкін. F[G] сол модульдерінің кез келген гомоморфизмі, кейбір үшін белгілі бір формада болады. F[G] F үстінен сызықтық негіз болғандықтан, одан оңай көрінеді, егер K F үстінен нормалық негізді тудырса, онда бұл өрнектелу биективті болады. Сондықтан нормалық негіз теоремасы, K / F шекті Галуа кеңейтілуі болса, сол модуль ретінде тұрады дегенді білдіреді. G үстінен F-тің өрнектелулері тұрғысынан, бұл K реттелі өрнектелуге изоморфты дегенді білдіреді.
Шекті өрістер жағдайы
Шешікті өрістер үшін мұны былай тұжырымдауға болады: q элементтері бар өрісті F деп белгілейік, мұнда 1=q = pm – жай санның дәрежесі, ал оның n ≥ 1 дәрежелі кеңейту өрісін K деп белгілейік. Мұнда Галуа тобы – q-дәрежелі Фробен автоморфизмімен туындаған циклдік топ. Онда K-да β ∈ K элементі бар, осы элементтер K-ның F үстіндегі негізін құрайды.
is a basis of K over F.
Шекті өрістер үшін дәлелдеу
Галуа тобы жоғарыда көрсетілгендей циклдік болған жағдайда, нормальды негізге негізделген теорема екі негізгі фактіден туындайды. Біріншісі – таңбалардың сызықтық тәуелсіздігі: көбейтуші таңба – бұл χ функциясы, H тобынан K өрісіне қанағаттандыратын ; содан кейін кез келген ерекше таңбалар карталардың K векторлық кеңістігінде сызықтық тәуелсіз. Біз мұны Галуа тобының автоморфизмдеріне қолданамыз, оларды көбейту тобынан карталар ретінде қарастырамыз. Енді F векторлық кеңістік ретінде, сондықтан біз оны Mn(F матрицалық алгебраның элементі ретінде қарастыра аламыз; оның дәрежелері (K және, әсіресе, F бойынша) сызықтық тәуелсіз болғандықтан, оның минималды көпмүшесі кем дегенде n дәрежеде болуы керек, яғни ол болуы керек. Екінші негізгі факт – PID-ге дейінгі шекті түрде құрылған модульдердің жіктелуі. Кез келген модуль M осылай көрсетілуі мүмкін , мұнда олар мономдық көпмүшелер немесе нөл ретінде таңдалуы мүмкін, ал – нөлдік емес көпмүшенің ең кіші дәрежесімен жойылған модульдің мономдық көпмүшесінің еселігі немесе егер мұндай нөлдік емес көпмүше болмаса, нөл. Бірінші жағдайда , екінші жағдайда . Біздің жағдайымызда, n-ден алынған циклдік G үшін, бізде F алгебралық изоморфизм бар, онда X сәйкес келеді , сондықтан әрбір модульді X-ке көбейтілген модуль ретінде қарастыруға болады. K жағдайында бұл дегеніміз , сондықтан K-ні жойған ең кіші дәрежелі мономдық көпмүше – минималды көпмүше. K – шекті өлшемді F кеңістігі болғандықтан, жоғарыда көрсетілген бейнелеу мүмкін. Бізде тек , және F[X] модульдері болуы мүмкін. (Бұл F сызықтық кеңістіктердің изоморфизмі, бірақ сақиналардың немесе F алгебраларының емес.) Бұл жоғарыда сөз еткен модульдердің изоморфизмін береді, және оның астында оң жақтағы негіз сол жақтағы K-ның нормальды негізіне сәйкес келеді. Бұл дәлелдеу циклдік Кумер кеңейтуі жағдайында да қолданылады.
The second basic fact is the classification of finitely generated modules over a PID such as Every such module M can be represented as , where may be chosen so that they are monic polynomials or zero and is a multiple of is the monic polynomial of smallest degree annihilating the module, or zero if no such non zero polynomial exists. In the first case , in the second case In our case of cyclic G of size n generated by we have an F algebra isomorphism where X corresponds to , so every module may be viewed as an module with multiplication by X being multiplication by In case of K this means , so the monic polynomial of smallest degree annihilating K is the minimal polynomial of Since K is a finite dimensional F space, the representation above is possible with Since we can only have , and as F[X] modules. (Note this is an isomorphism of F linear spaces, but not of rings or F algebras.) This gives isomorphism of modules that we talked about above, and under it the basis on the right side corresponds to a normal basis of K on the left. Note that this proof would also apply in the case of a cyclic Kummer extension.
Бастапқы қалыпты негіз
Шектелген өрістердің Е / F кеңейтуінің бастапқы қалыпты негізі – Е / F үшін Е-нің бастапқы элементімен, яғни К× көбейту тобының генераторымен құрылған қалыпты негіз. (Бұл, жалпы қалыпты негіз теоремасынан кейін жоғарыда айтылған бастапқы элементтің анықтамасынан тар, себебі К-нің нөлдік емес барлық элементтерін алу үшін элементтің дәрежелері қажет, жай ғана негіз емес.) Ленстра және Шоуф (1987) әрбір шектелген өріс кеңейтуінің бастапқы қалыпты негізі болатынын дәлелдеді, ал F біріншілік өріс болған жағдайда бұл мәселені Гарольд Давенпорт шешкен.
Еркін элементтер
Егер K / F Галуа кеңейтімі болса және x, K-де F-ке қатысты нормальдік базаны тудырса, онда x, K / F кеңейтімінде еркін болады. Егер x, Галуа тобы G-ның кез келген H кіші тобы үшін, оның түйінделген өрісі KH болғанда, K / KH үшін еркін болса, онда x, K / F кеңейтімінде толық еркін деп аталады. Кез келген Галуа кеңейтімінде толық еркін элемент болады.