Введение

В математике, в частности в алгебраической теории полей, нормальное основание — это особый вид базиса для расширений Галуа конечной степени, характеризующийся тем, что он образует единственную орбиту под действием группы Галуа. Теорема о нормальном базисе утверждает, что любое конечное расширение Галуа полей имеет нормальный базис. В алгебраической теории чисел изучение более точного вопроса о существовании нормального интегрального базиса является частью теории модулей Галуа.

Теорема о нормальной основе

Пусть будет расширением Галуа с группой Галуа. Классическая теорема о нормальных базисах утверждает, что существует элемент α, такой что {α, σ(α), ..., σ^(n-1)(α)} образует базис K, рассматриваемого как векторное пространство над F. То есть любой элемент k из K может быть единственным образом представлен в виде k = a₀α + a₁σ(α) + ... + aₙ₋₁σ^(n-1)(α) для некоторых элементов aᵢ ∈ F.

Нормальный базис противопоставляется примитивному базису вида {1, α, ..., α^(n-1)}, где α – элемент, минимальный полином которого имеет степень n.

Групповая представительная точка зрения

Расширение поля K / F с группой Галуа G может быть естественно рассмотрено как представление группы G над полем F, в котором каждый автоморфизм представлен самим собой. Представления G над полем F можно рассматривать как левые модули над групповой алгеброй F[G]. Любой гомоморфизм левых F[G]-модулей имеет вид для некоторого . Поскольку является линейной основой F[G] над F, легко следует, что он биективен тогда и только тогда, когда генерирует нормальную базу K над F. Таким образом, теорема о нормальной базе эквивалентна утверждению, что если K / F – конечное расширение Галуа, то K изоморфен F[G] как левый модуль. С точки зрения представлений G над F, это означает, что K изоморфен регулярному представлению.

Случай с конечными полями

Для конечных полей это можно сформулировать следующим образом: пусть обозначает поле из q элементов, где q = p^m – степень простого числа, и пусть обозначает его расширение степени n ≥ 1. Здесь группа Галуа является циклической группой, порожденной автоморфизмом Фробениуса степени q, то есть . Тогда существует элемент β ∈ K такой, что

является базисом K над F.

Доказательство для конечных полей

В случае, если группа Галуа циклична, как описано выше, теорема о нормальном базисе следует из двух основных фактов. Первый – линейная независимость характеров: мультипликативный характер – это отображение χ из группы H в поле K, удовлетворяющее ; тогда любые различные характеры линейно независимы в K-векторном пространстве отображений. Мы применяем это к автоморфизмам группы Галуа, рассматривая их как отображения из мультипликативной группы. Теперь как F-векторное пространство, поэтому мы можем рассматривать как элемент матричной алгебры Mn(F); поскольку его степени линейно независимы (над K и, следовательно, над F), его минимальный многочлен должен иметь степень не меньше n, то есть он должен быть . Второй основной факт – классификация конечно порожденных модулей над областью главных идеалов (PID), таких как . Каждый такой модуль M может быть представлен как , где можно выбрать так, чтобы они были мономическими многочленами или нулем, а является кратным мономического многочлена наименьшей степени, уничтожающего модуль, или нулем, если такого ненулевого многочлена не существует. В первом случае , во втором случае. В нашем случае циклической группы G порядка n, порожденной , у нас есть F-алгебраический изоморфизм, где X соответствует , поэтому каждый -модуль можно рассматривать как -модуль с умножением на X, которое является умножением на . В случае K это означает , поэтому мономический многочлен наименьшей степени, уничтожающий K, является минимальным многочленом . Поскольку K является конечномерным F-пространством, указанное выше представление возможно с . Поскольку мы можем иметь только модули и как F[X]-модули. (Обратите внимание, что это изоморфизм F-линейных пространств, но не колец или F-алгебр.) Это дает изоморфизм -модулей, о котором мы говорили выше, и при этом базис на правой стороне соответствует нормальному базису K слева. Обратите внимание, что это доказательство также применимо в случае циклического расширения Куммера.

Первичная нормальная основа

Примитивная нормальная база расширения конечных полей E / F — это нормальная база для E / F, порожденная примитивным элементом E, то есть генератором мультипликативной группы K×. (Следует отметить, что это более строгий критерий для примитивного элемента, чем указанный выше после общей теоремы о нормальных базах: требуется, чтобы степени элемента порождали каждый ненулевой элемент K, а не только базу.) Ленстра и Шуф (1987) доказали, что каждое расширение конечного поля имеет примитивную нормальную базу, а случай, когда F является простым полем, был решен Гарольдом Давенпортом.

Свободные элементы

Если K / F является расширением Галуа и x из K порождает нормальный базис над F, то x свободен в K / F. Если x обладает свойством, что для каждой подгруппы H группы Галуа G, с фиксированным полем KH, x свободен для K / KH, то говорят, что x полностью свободен в K / F. Каждое расширение Галуа имеет полностью свободный элемент.