Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Дифференциалдық теңдеулерді шешу процедурасыМатематикада параметрлердің өзгеруі, сондай-ақ тұрақтылардың өзгеруі деп аталатын бұл әдіс, біртекті емес сызықтық қалыпты дифференциалдық теңдеулерді шешудің жалпы тәсілі болып табылады. Бірінші ретті біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеулер үшін, интегралдаушы факторлар немесе белгісіз коэффициенттер арқылы шешімдерді табу әдетте оңайырақ, бірақ бұл әдістер болжауға негіделген эвристиканы қолданады және барлық біртекті емес сызықтық дифференциалдық теңдеулер үшін қолданылмайды. Параметрлердің өзгеруі сызықтық дербес дифференциалдық теңдеулерге де, әсіресе, жылу теңдеуі, толқын теңдеуі және дірілдейтін пластина теңдеуі сияқты сызықтық эволюциялық теңдеулерге қатысты біртекті емес мәселелерге де қолданылады. Мұндай жағдайда бұл әдіс көбінесе Дюмаль принципі деп аталады, ол 1797-1872 жылдары өмір сүрген және бірінші болып біртекті емес жылу теңдеуін шешу үшін бұл әдісті қолданған Жан-Мари Дюмаль есімімен аталған. Кейде параметрлердің өзгеруінің өзі Дюмаль принципі деп, ал керісінше Дюмаль принципі параметрлердің өзгеруі деп аталады.
Procedure for solving differential equationsIn mathematics, variation of parameters, also known as variation of constants, is a general method to solve inhomogeneous linear ordinary differential equations. For first order inhomogeneous linear differential equations it is usually possible to find solutions via integrating factors or undetermined coefficients with considerably less effort, although those methods leverage heuristics that involve guessing and do not work for all inhomogeneous linear differential equations. Variation of parameters extends to linear partial differential equations as well, specifically to inhomogeneous problems for linear evolution equations like the heat equation, wave equation, and vibrating plate equation. In this setting, the method is more often known as Duhamel's principle, named after Jean Marie Duhamel (1797–1872) who first applied the method to solve the inhomogeneous heat equation. Sometimes variation of parameters itself is called Duhamel's principle and vice versa.
Тарих
Параметрлерді өзгерту әдісін алғаш рет швейцариялық математик Леонард Эйлер (1707–1783) эскиздей бастады, ал кейін итальян-француз математигі Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) оны толықтырды. Аспан денелерінің орбиталық элементтерін өзгерту әдісінің алға басушысы 1748 жылы Эйлер Юпитер мен Сатурнның өзара бұзылыстарын зерттеген кезде оның еңбектерінде пайда болды. 1749 жылы Жердің қозғалысын зерттеуде Эйлер орбиталық элементтерге арналған дифференциалдық теңдеулерді алды. 1753 жылы ол осы әдісті Айдың қозғалысын зерттеуде қолданды. Лагранж бұл әдісті алғаш рет 1766 жылы қолданды. 1778 мен 1783 жылдар аралығында ол әдісті екі сериялы еңбектерде одан әрі дамытты: планеталардың қозғалысындағы өзгерістер туралы және үш байқау бойынша кометаның орбитасын анықтау туралы. 1808–1810 жылдары Лагранж параметрлерді өзгерту әдісін үшінші мақалалар сериясында түпкілікті нысанына жеткізді.
The method of variation of parameters was first sketched by the Swiss mathematician Leonhard Euler (1707–1783), and later completed by the Italian French mathematician Joseph Louis Lagrange (1736–1813). A forerunner of the method of variation of a celestial body's orbital elements appeared in Euler's work in 1748, while he was studying the mutual perturbations of Jupiter and Saturn. In his 1749 study of the motions of the earth, Euler obtained differential equations for the orbital elements. In 1753, he applied the method to his study of the motions of the moon. Lagrange first used the method in 1766. Between 1778 and 1783, he further developed the method in two series of memoirs: one on variations in the motions of the planets and another on determining the orbit of a comet from three observations. During 1808–1810, Lagrange gave the method of variation of parameters its final form in a third series of papers.