Введение

Процедура решения дифференциальных уравнений В математике вариация параметров, также известная как вариация констант, является общим методом решения неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка обычно можно найти решения с помощью интегрирующих множителей или метода неопределённых коэффициентов с меньшими затратами, хотя эти методы основаны на эвристических подходах, включающих предположения, и не работают для всех неоднородных линейных дифференциальных уравнений. Вариация параметров применима и к линейным уравнениям в частных производных, в частности к неоднородным задачам для линейных уравнений эволюции, таких как уравнение теплопроводности, волновое уравнение и уравнение колебаний пластины. В этом контексте метод чаще называют принципом Дюамеля, по имени Жана-Мари Дюамеля (1797–1872), который впервые применил этот метод для решения неоднородного уравнения теплопроводности. Иногда сама вариация параметров называется принципом Дюамеля и наоборот.

История

Метод вариации параметров был впервые намечен швейцарским математиком Леонардом Эйлером (1707–1783), а позже завершен итальянско-французским математиком Джозефом Луи Лагранжем (1736–1813). Зародыш метода вариации орбитальных элементов небесного тела появился в работе Эйлера в 1748 году, когда он изучал взаимные возмущения Юпитера и Сатурна. В своем исследовании движений Земли в 1749 году Эйлер получил дифференциальные уравнения для орбитальных элементов. В 1753 году он применил этот метод к исследованию движения Луны. Лагранж впервые использовал метод в 1766 году. В период с 1778 по 1783 год он развил метод в двух сериях мемуаров: одна посвящена вариациям движений планет, а другая – определению орбиты кометы по трем наблюдениям. В 1808–1810 годах Лагранж придал методу вариации параметров окончательную форму в третьей серии работ.