Кіріспе
Үшбұрыштың қабырғаларына нүктені проекциялау арқылы табылатын үшбұрыш. Жазық геометрияда, педальді үшбұрыш үшбұрыштың қабырғаларына нүктені проекциялау арқылы алынады. Нақтырақ айтқанда, △ABC үшбұрышын және A, B, C төбелерінің бірі емес P нүктесін қарастырайық. P-ден үшбұрыштың үш қабырғасына перпендикуляр түсіріңіз (оларды созу қажет болуы мүмкін, яғни ұзарту қажет болуы мүмкін). L, M, N әріптерімен P-ден BC, AC, AB қабырғаларына түсетін түзулердің қиылысу нүктелерін белгілейміз. Педальді үшбұрыш – △LMN. Егер △ABC доғал үшбұрыш болмаса және P ортоцентр болса, онда △LMN үшбұрышының бұрыштары 180° − 2A және 180° − 2C градусқа тең болады. P нүктесінің таңдалған △ABC үшбұрышына қатысты орналасуы кейбір ерекше жағдайларды тудырады: егер P ортоцентр болса, онда △LMN ортотриангл болады. Егер P ішкіцентр болса, онда △LMN іштей қағысатын үшбұрыш болады. Егер P сырттай орталық болса, онда △LMN медианалық үшбұрыш болады. Егер P үшбұрыштың сырттай шеңберінің үстінде жатса, △LMN түзуге (педальді түзу немесе Симсон түзуі) дейін ыдырайды. Ішкі нүкте P-нің педальді үшбұрышының төбелері, жоғарғы диаграммада көрсетілгендей, бастапқы үшбұрыштың қабырғаларын Карно теоремасын қанағаттандыратын етіп бөледі:
In plane geometry, a pedal triangle is obtained by projecting a point onto the sides of a triangle. More specifically, consider a triangle △ABC, and a point P that is not one of the vertices A, B, C. Drop perpendiculars from P to the three sides of the triangle (these may need to be produced, i. e., extended). Label L, M, N the intersections of the lines from P with the sides BC, AC, AB. The pedal triangle is then △LMN. If △ABC is not an obtuse triangle and P is the orthocenter, then the angles of △LMN are 180° − 2A, and 180° − 2C. The location of the chosen point P relative to the chosen triangle △ABC gives rise to some special cases:
If P is the orthocenter, then △LMN is the orthic triangle. If P is the incenter, then △LMN is the intouch triangle. If P is the circumcenter, then △LMN is the medial triangle. If P is on the circumcircle of the triangle, △LMN collapses to a line (the pedal line or Simson line). The vertices of the pedal triangle of an interior point P, as shown in the top diagram, divide the sides of the original triangle in such a way as to satisfy Carnot's theorem:
Антипедальды үшбұрыш
P антипедальді үшбұрышының бір төбесі L' – B нүктесі арқылы BP-ге түсірілген перпендикуляр және C нүктесі арқылы CP-ге түсірілген перпендикулярдың қиылысу нүктесі. Оның қалған төбелері M' және N' да осылай салынады. Трилинейлік координаттар келесідей беріледі:
For example, the excentral triangle is the antipedal triangle of the incenter. Suppose that P does not lie on any of the extended sides BC, CA, AB, and let P^( −1) denote the isogonal conjugate of P. The pedal triangle of P is homothetic to the antipedal triangle of P^( −1). The homothetic center (which is a triangle center if and only if P is a triangle center) is the point given in trilinear coordinates by
The product of the areas of the pedal triangle of P and the antipedal triangle of P^( −1) equals the square of the area of △ABC.
Мысалы, сырттай орталық үшбұрыш – ішкі орталықтың антипедальді үшбұрышы. P нүктесі BC, CA, AB қабырғаларының ешқайсысының кеңейтілген түрінде жатпайды деп есептейік, ал P^(−1) – P нүктесінің изогональды жұбын білдірсін. P нүктесінің педальді үшбұрышы P^(−1) нүктесінің антипедальді үшбұрышына гомотетиялық. Гомотетия орталығы (P нүктесі үшбұрыштың орталығы болса және тек сонда ғана P үшбұрыштың орталығы болады) – трилинейлік координаттармен берілген нүкте. P нүктесінің педальді үшбұрышының және P^(−1) нүктесінің антипедальді үшбұрышының аудандарының көбейтіндісі △ABC үшбұрышының ауданының квадратына тең.
For example, the excentral triangle is the antipedal triangle of the incenter. Suppose that P does not lie on any of the extended sides BC, CA, AB, and let P^( −1) denote the isogonal conjugate of P. The pedal triangle of P is homothetic to the antipedal triangle of P^( −1). The homothetic center (which is a triangle center if and only if P is a triangle center) is the point given in trilinear coordinates by
The product of the areas of the pedal triangle of P and the antipedal triangle of P^( −1) equals the square of the area of △ABC.
Педаль шеңбері
Педаль шеңбері — педаль үшбұрышының сырттай шеңбері ретінде анықталады. Педаль шеңбері үшбұрыштың сырттай шеңберінің үстінде жатқан нүктелер үшін анықталмайды.
Изогональды конъюгаттардың педальдік шеңбері
Үшбұрыштың сырттай шеңберінің үстінде жатпайтын кез келген P нүктесі үшін, P және оның изоконъюгатты P* нүктелерінің ортақ педальдық шеңбері бар екені белгілі, және осы шеңбердің орталығы осы екі нүктенің ортасы болады.