Кіріспе
Алгебралық жабық емес өріс, оның √(-1) арқылы кеңейтілуі алгебралық жабық. Математикада, нақты жабық өріс – нақты сандар өрісімен бірдей бірінші реттік қасиеттері бар F өрісі. Мысалдарға нақты сандар өрісі, нақты алгебралық сандар өрісі және гиперреал сандар өрісі жатады.
In mathematics, a real closed field is a field F that has the same first order properties as the field of real numbers. Some examples are the field of real numbers, the field of real algebraic numbers, and the field of hyperreal numbers.
Жалпыландырылған континуум гипотезасы
Шынайы жабық өрістердің сипаттамалары, егер жалпыланған континуум гипотезасын қабылдауға дайын болсақ, әлдеқайда қарапайым болады. Егер континуум гипотезасы дұрыс болса, континуумның кардиналдығы бар және η1 қасиетке ие барлық нақты жабық өрістер реттік изоморфты болады. Бұл бірегей өріс Ϝ, мұндағы M – өріс ретіне изоморфты емес максималды идеал. Бұл стандартты емес талдауда ең көп қолданылатын гиперреалдық сан өрісі және оның бірегейлігі континуум гипотезасына тең. (Егер континуум гипотезасы болмаса да, егер континуумның кардиналдығы болса, онда бізде ηβ өлшемді бірегей өріс болады.) Сонымен қатар, Ϝ құрастыру үшін суперсилы қажет емес, біз оны әлдеқайда конструктивті түрде жасай аламыз, толық реттелген абельдік бөлінгіш топ G-дегі формалды күштер қатарының нөлден тыс мүшелерінің саналатын саны бар тізбектердің субөрісі ретінде, бұл cardinality-дің η1 тобы. Дегенмен, Ϝ толық өріс емес; егер біз оның толықтығын алсақ, біз үлкен кардиналдығы бар К өрісіне жетеміз. Ϝ континуумның кардиналдығына ие, ал гипотеза бойынша , К кардиналдығына ие және Ϝ-ны тығыз субөріс ретінде қамтиды. Бұл ультракүш емес, бірақ ол гиперреалдық өріс, сондықтан стандартты емес талдауды қолдану үшін қолайлы өріс. Оны нақты сандардың жоғары өлшемді аналогы ретінде қарастыруға болады; кардиналдылығы орнына , кофиналдылығы орнына , салмағы орнына және η0 қасиетінің орнына η1 қасиетімен (бұл кез келген екі нақты санның арасында біз басқасын таба аламыз дегенді білдіреді).
then we have a unique ηβ field of size .) Moreover, we do not need ultrapowers to construct Ϝ, we can do so much more constructively as the subfield of series with a countable number of nonzero terms of the field of formal power series on a totally ordered abelian divisible group G that is an η1 group of cardinality
Ϝ however is not a complete field; if we take its completion, we end up with a field Κ of larger cardinality. Ϝ has the cardinality of the continuum, which by hypothesis is , Κ has cardinality , and contains Ϝ as a dense subfield. It is not an ultrapower but it is a hyperreal field, and hence a suitable field for the usages of nonstandard analysis. It can be seen to be the higher dimensional analogue of the real numbers; with cardinality instead of , cofinality instead of , and weight instead of , and with the η1 property in place of the η0 property (which merely means between any two real numbers we can find another).
Элементарлық Евклид геометриясы
Тарски аксиомалары — Евклид геометриясының бірінші реттік ("элементарлық") бөлігі үшін аксиомалар жүйесі болып табылады. Осы аксиомаларды қолдана отырып, түзу бойындағы нүктелер нақты жабық өріс R құрайтынын және Евклид жазықтығын R2-мен сәйкестендіруге болатын координаттарды енгізуге болады. Нақты жабық өрістер теориясының шешімділігін пайдаланып, Тарски Евклид геометриясының элементарлық теориясы толық және шешімді екенін дәлездеді.