Введение
Неалгебраически замкнутое поле, расширение которого с добавлением квадратного корня из –1 является алгебраически замкнутым.
В математике, реально замкнутое поле — это поле F, обладающее теми же свойствами первого порядка, что и поле действительных чисел. Примеры включают поле действительных чисел, поле действительных алгебраических чисел и поле гипердействительных чисел.
Гипотеза обобщенного континуума
Характеристики реальных замкнутых полей становятся намного проще, если мы готовы принять обобщенную гипотезу континуума. Если гипотеза континуума верна, то все реальные замкнутые поля с кардинальностью континуума и обладающие свойством η1 являются упорядоченно изоморфными. Это уникальное поле Ϝ можно определить с помощью ультрастепени, как , где M — максимальный идеал, не приводящий к полевому порядку, изоморфному . Это наиболее часто используемое поле гиперреальных чисел в нестандартном анализе, и его уникальность эквивалентна гипотезе континуума. (Даже без гипотезы континуума мы имеем, что если кардинальность континуума равна , то существует единственное ηβ-поле размера .) Более того, для построения Ϝ нам не нужны ультрастепени, мы можем сделать это гораздо более конструктивно, как подполе рядов с счетным числом ненулевых членов поля формальных степенных рядов над полностью упорядоченной абелевой делимой группой G, которая является η1-группой кардинальности . Ϝ, однако, не является полным полем; если взять его завершение, то получится поле Κ большей кардинальности. Ϝ имеет кардинальность континуума, которая по гипотезе равна , Κ имеет кардинальность , и содержит Ϝ как плотное подполе. Это не ультрастепень, но это гиперреальное поле и, следовательно, подходящее поле для задач нестандартного анализа. Его можно рассматривать как аналог действительных чисел в более высоких измерениях: с кардинальностью вместо , кофинальностью вместо , и весом вместо , и со свойством η1 вместо свойства η0 (что просто означает, что между любыми двумя действительными числами можно найти другое).
then we have a unique ηβ field of size .) Moreover, we do not need ultrapowers to construct Ϝ, we can do so much more constructively as the subfield of series with a countable number of nonzero terms of the field of formal power series on a totally ordered abelian divisible group G that is an η1 group of cardinality
Ϝ however is not a complete field; if we take its completion, we end up with a field Κ of larger cardinality. Ϝ has the cardinality of the continuum, which by hypothesis is , Κ has cardinality , and contains Ϝ as a dense subfield. It is not an ultrapower but it is a hyperreal field, and hence a suitable field for the usages of nonstandard analysis. It can be seen to be the higher dimensional analogue of the real numbers; with cardinality instead of , cofinality instead of , and weight instead of , and with the η1 property in place of the η0 property (which merely means between any two real numbers we can find another).
Элементарная геометрия Евклида
Аксиомы Тарского — это система аксиом для элементарной (аксиоматики первого порядка) части евклидовой геометрии. Используя эти аксиомы, можно показать, что точки на прямой образуют действительно замкнутое поле R, и можно ввести координаты таким образом, чтобы евклидова плоскость отождествлялась с R². Используя разрешимость теории действительно замкнутых полей, Тарский затем доказал, что элементарная теория евклидовой геометрии является полной и разрешимой.