Кіріспе
Ең кіші n бүтін саны, оған сақинада 0 тең болады. Математикада сақинаның R сипаттамасы, көбінесе char(R) деп белгіленеді, сақинаның көбейту бірлігінің (1) ең кіші оң саны ретінде анықталады, ол қосу бірлігіне (0) тең болады. Егер мұндай сан болмаса, сақинаның сипаттамасы нөл деп айтылады. Яғни, char(R) – сақинаның кез келген a элементі үшін ең кіші оң сан n, мұнда: a-ны n рет қоссақ, нәтиже 0-ге тең болады (егер n болса; болмаса нөл). Бұл анықтама рнг-тердің жалпы класына да қолданылады (қараңыз); (бірлік) сақиналар үшін екі анықтама да олардың таралу заңына сәйкес келеді.
In mathematics, the characteristic of a ring R, often denoted char(R), is defined to be the smallest positive number of copies of the ring's multiplicative identity (1) that will sum to the additive identity (0). If no such number exists, the ring is said to have characteristic zero. That is, char(R) is the smallest positive number n such that:
for every element a of the ring (again, if n exists; otherwise zero). This definition applies in the more general class of a rngs (see ); for (unital) rings the two definitions are equivalent due to their distributive law.
Теңдес сипаттамалар
Характеристика – бұл R сақинасынан R-ге дейінгі бірегей сақиналық гомоморфизмнің ядросы болатын n табиғи саны. Характеристика – бұл R сақинасында жоғарыда аталған гомоморфизмнің бейнесі болып табылатын факторлы сақинаға изоморфты кіші сақинаның болуымен сипатталады. Егер нөл емес бүтін сандар бөлінгіштік бойынша ішінара реттелген болса, онда 1 ең кіші, ал 0 ең үлкен болады. Егер 0-ден "кіші" ештеңе болмаса, онда характеристика 0-ге тең болады. Бұл ішінара реттеудің қажеттілігі мына фактілермен түсіндіріледі: char(A × B) саны char A және char B сандарының ең кіші ортақ еселігіне тең, және егер char B саны char A санын бөлмесе, онда f: A → B сақиналық гомоморфизмі болмайды. R сақинасының характеристикасы n-ге тең, егер кез келген a ∈ R үшін k саны n-нің еселігі болса.
The characteristic is the natural number n such that R contains a subring isomorphic to the factor ring , which is the image of the above homomorphism. When the non negative integers are partially ordered by divisibility, then 1 is the smallest and 0 is the largest. Then the characteristic of a ring is the smallest value of n for which If nothing "smaller" (in this ordering) than 0 will suffice, then the characteristic is 0. This is the appropriate partial ordering because of such facts as that char(A × B) is the least common multiple of char A and char B, and that no ring homomorphism f : A → B exists unless char B divides char A. The characteristic of a ring R is n precisely if the statement for all a ∈ R implies that k is a multiple of n.
Сақиналар қаптамасы
Егер R және S сақиналар болса және R → S сақина гомоморфизмі болса, онда S-тің сипаттамасы R-дің сипаттамасын бөледі. Бұл кейде белгілі бір сақина гомоморфизмдерінің мүмкіндігін жоққа шығару үшін қолданылуы мүмкін. 1 сипаттамасына ие жалғыз сақина – нөлдік сақина, онда тек 0 элементі ғана бар. Егер R тривиальды емес сақинасында тривиальды емес нөлдік бөлгіштер болмаса, онда оның сипаттамасы 0 немесе жай сан болады. Атап айтқанда, бұл барлық өрістерге, барлық интегралды домендерге және барлық бөлу сақиналарына қатысты. 0 сипаттамасына ие кез келген сақина шексіз. n модуль бойынша бүтін сандар сақинасының сипаттамасы n-ге тең. Егер R, S сақинасының ішкі сақинасы болса, онда R мен S бірдей сипаттамаға ие. Мысалы, егер p жай сан болса және q(X) – p элементі бар өрісте коэффициенттері бар, жіктеле алмайтын көпмүше болса, онда бөліктік сақина p сипаттамалы өріс болады. Тағы бір мысал: Комплекс сандар өрісі құрамында бар, сондықтан сипаттамасы 0-ге тең. n-ді бөлетін сипаттамасы бар сақина – алгебра. Себебі, кез келген R сақинасы үшін сақина гомоморфизмі бар, және бұл бейнелеу арқылы өтеді, егер және тек қана R сақинасының сипаттамасы n-ді бөлсе. Бұл жағдайда сақинадағы кез келген r үшін, оны өзіне n рет қоссақ,
Егер R коммутативтік сақинасының жай сипаттамасы p болса, онда R-дегі барлық x және y элементтері үшін теңдігі орындалады – әдетте қате «жаңадан туған арман» p дәрежесі үшін қолданылады.
Содан кейін бейнелеуі R → R сақина гомоморфизмін анықтайды, ол Фробениус гомоморфизмі деп аталады. Егер R интегралды домен болса, онда ол инъективті болады.
If a commutative ring R has prime characteristic p, then we have for all elements x and y in R – the normally incorrect "freshman's dream" holds for power p.
The map then defines a ring homomorphism R → R, which is called the Frobenius homomorphism. If R is an integral domain it is injective.
Далалар жағдайы
Жоғарыда айтылғандай, кез келген өрістің сипаттамасы 0 немесе жай сан болады. Нөлдік емес сипаттамаға ие өріс шекті сипаттамалы, оң сипаттамалы немесе жай сипаттамалы өріс деп аталады. Сипаттаманың көрсеткіші де осыған ұқсас анықталады, бірақ сипаттама 0 болғанда 1-ге тең; әйтпесе, ол сипаттамамен бірдей мәнге ие. Кез келген F өрісінің бірегей ең кішкентай қосалқы өрісі болады, ол жай өріс деп те аталады. Бұл қосалқы өріс рационал сандар өрісіне немесе жай реттік шекті өріске изоморфты. Бірдей сипаттамаға ие екі жай өріс изоморфты болады, және бұл изоморфизм бірегей. Басқаша айтқанда, әрбір сипаттама үшін негізінен бірегей жай өріс бар.
Таңбалық нөлдік өрістер
Характерлік нөлдің ең көп таралған өрістері — кешенді сандардың кіші өрістері болып табылады. p-адық өрістер — сандар теориясында кеңінен қолданылатын, нөлдік сипаттамаға ие өрістер. Олардың абсолюттік шамалары кешенді сандардың абсолюттік шамаларынан өте өзгеше. Кез келген реттелген өріс үшін, мысалы, рационал сандар өрісі немесе нақты сандар өрісі үшін, сипаттама 0-ге тең болады. Осылайша, кез келген алгебралық сан өрісі және кешенді сандар өрісі нөлдік сипаттамаға ие.
Басты сипаттама өрістері
Шекті өрістің сипаттамасы p-ге тең.
Басты сипаттамалы шексіз өрістер бар. Мысалы, өріс барлық рационалды функциялардың, өріс алгебралық жабылуы немесе формалды Лоран қатарларының өрісі. Басты сипаттамасы p болатын кез келген шекті сақинаның мөлшері p-нің дәрежесі болады. Ондай жағдайда ол сол өрісте векторлық кеңістік болып табылады, ал сызықтық алгебрадан белгілі болғандай, шекті өрістердегі шекті векторлық кеңістіктердің мөлшері өрістің мөлшерінің дәрежесіне тең. Бұл кез келген шекті векторлық кеңістіктің мөлшері жай санның дәрежесі екенін көрсетеді.
The size of any finite ring of prime characteristic p is a power of p. Since in that case it contains it is also a vector space over that field, and from linear algebra we know that the sizes of finite vector spaces over finite fields are a power of the size of the field. This also shows that the size of any finite vector space is a prime power.