Введение
Наименьшее целое число n, для которого n * 1 = 0 в кольце.
В математике характеристика кольца R, часто обозначаемая char(R), определяется как наименьшее положительное число, для которого n * 1 = 0, где 1 – мультипликативная единица кольца, а 0 – аддитивная единица. Если такого числа не существует, то говорят, что кольцо имеет характеристику ноль. То есть, char(R) – это наименьшее положительное число n, такое что:
n * a = 0 для каждого элемента a кольца (если такое n существует; в противном случае характеристика равна нулю). Это определение применимо к более общему классу рангов (см.); для (унитальных) колец оба определения эквивалентны благодаря закону распределительности.
Эквивалентные характеристики
Характеристика – это натуральное число n, являющееся ядром единственного гомоморфизма колец из R в Z/nZ. Характеристика – это также натуральное число n, такое что R содержит подкольцо, изоморфное факторкольцу Z/nZ, которое является образом указанного гомоморфизма. Если неотрицательные целые числа частично упорядочены по делимости, то 1 является наименьшим, а 0 – наибольшим. Тогда характеристикой кольца является наименьшее значение n, для которого верно следующее: если никакое "меньшее" (в этом порядке) число, чем 0, не подходит, то характеристика равна 0. Этот частичный порядок уместен, поскольку, например, char(A × B) является наименьшим общим кратным char A и char B, и гомоморфизм колец f: A → B не существует, если char B не делит char A. Характеристика кольца R равна n тогда и только тогда, когда для всех a ∈ R утверждение aⁿ = 0 подразумевает, что n делится на k.
The characteristic is the natural number n such that R contains a subring isomorphic to the factor ring , which is the image of the above homomorphism. When the non negative integers are partially ordered by divisibility, then 1 is the smallest and 0 is the largest. Then the characteristic of a ring is the smallest value of n for which If nothing "smaller" (in this ordering) than 0 will suffice, then the characteristic is 0. This is the appropriate partial ordering because of such facts as that char(A × B) is the least common multiple of char A and char B, and that no ring homomorphism f : A → B exists unless char B divides char A. The characteristic of a ring R is n precisely if the statement for all a ∈ R implies that k is a multiple of n.
Коробка с кольцами
Если R и S – кольца и существует гомоморфизм колец R → S, то характеристика S делит характеристику R. Это иногда можно использовать для исключения возможности определенных гомоморфизмов колец. Единственное кольцо с характеристикой 1 – это нулевое кольцо, которое имеет только один элемент 0. Если нетривиальное кольцо R не имеет нетривиальных делителей нуля, то его характеристика либо 0, либо простое число. В частности, это применимо ко всем полям, ко всем областям целостности и ко всем кольцам делений. Любое кольцо с характеристикой 0 бесконечно. Кольцо целых чисел по модулю n имеет характеристику n. Если R является подкольцом S, то R и S имеют одинаковую характеристику. Например, если p – простое число, а q(X) – неприводимый многочлен с коэффициентами в поле из p элементов, то фактор-кольцо является полем характеристики p. Другой пример: поле комплексных чисел содержит , поэтому характеристика равна 0. -алгебра эквивалентно является кольцом, характеристика которого делит n. Это потому, что для каждого кольца R существует гомоморфизм колец , и это отображение факторизуется через , если и только если характеристика R делит n. В этом случае для любого r из кольца, сложение r с самим собой n раз дает . Если коммутативное кольцо R имеет простую характеристику p, то для всех элементов x и y из R выполняется – обычно неверное "мечта первокурсника" верно для степени p. Отображение тогда определяет гомоморфизм колец R → R, который называется гомоморфизмом Фробениуса. Если R – область целостности, то оно инъективно.
If a commutative ring R has prime characteristic p, then we have for all elements x and y in R – the normally incorrect "freshman's dream" holds for power p.
The map then defines a ring homomorphism R → R, which is called the Frobenius homomorphism. If R is an integral domain it is injective.
Случай с полями
Как упоминалось выше, характеристикой любого поля является либо 0, либо простое число. Поле с ненулевой характеристикой называется полем конечной характеристики или положительной характеристики или полем простой характеристики. Характерный показатель определяется аналогично, за исключением того, что он равен 1, когда характеристика равна 0, иначе он имеет то же значение, что и характеристика. Любое поле F имеет единственное минимальное подполе, также называемое его простым полем. Это подполе изоморфно либо полю рациональных чисел, либо конечному полю простого порядка. Два простых поля с одинаковой характеристикой изоморфны, и этот изоморфизм единственен. Иными словами, для каждой характеристики существует по сути единственное простое поле.
Поля с нулевой характеристикой
Наиболее распространенными полями характеристики ноль являются подполя комплексных чисел. P-адические поля — это поля характеристики ноль, широко используемые в теории чисел. Они обладают абсолютными значениями, существенно отличающимися от абсолютных значений комплексных чисел. Для любого упорядоченного поля, например, поля рациональных чисел или поля вещественных чисел, характеристика равна 0. Следовательно, каждое алгебраическое числовое поле и поле комплексных чисел имеют характеристику ноль.
Поля первичной характеристики
Конечное поле имеет характеристику p.
Существуют бесконечные поля простой характеристики. Например, поле всех рациональных функций над , алгебраически замкнутое поле или поле формальных рядов Лорана. Размер любого конечного кольца простой характеристики p является степенью p. Поскольку в этом случае оно содержит , оно также является векторным пространством над этим полем, и из линейной алгебры мы знаем, что размеры конечных векторных пространств над конечными полями являются степенью размера поля. Это также показывает, что размер любого конечного векторного пространства является степенью простого числа.
The size of any finite ring of prime characteristic p is a power of p. Since in that case it contains it is also a vector space over that field, and from linear algebra we know that the sizes of finite vector spaces over finite fields are a power of the size of the field. This also shows that the size of any finite vector space is a prime power.