Кіріспе
Математикадағы туындының түрі
Математикада, f функциясының бір нүктедегі толық туындысы – функцияның осы нүктеге жақын аргументтеріне қатысты ең жақсы сызықтық жуықтамасы болып табылады. Ішінара туындылардан өзгеше, толық туынды функцияны барлық аргументтері бойынша, тек біреуі ғана емес, жуықтайды. Көп жағдайда бұл барлық ішінара туындыларды бірдей қарастырумен сәйкес келеді. "Толық туынды" термині көбінесе f бірнеше айнымалының функциясы болғанда қолданылады, себебі f бір айнымалының функциясы болғанда, толық туынды функцияның кәдімгі туындысына тең болады.
Жалпы туындысы сызықтық карта ретінде
Ашық ішкі жиын болсын. Одан кейін, егер сызықтық түрлендіру болса, функция (толық) дифференциалданады деп айтылады, мұндағы сызықтық түрлендіру – функцияның (толық) туындысы немесе (толық) дифференциалы деп аталады. Тұжырымдамалық тұрғыдан алғанда, толық туындының анықтамасы функцияның нүктедегі ең жақсы сызықтық жуықтамасы екенін көрсетеді. Бұл сызықтық жуықтаманың қатесін санмен бағалау арқылы нақтырақ көрсетуге болады. Ол үшін мынаны жазайық:
The linear map is called the (total) derivative or (total) differential of at Other notations for the total derivative include and A function is (totally) differentiable if its total derivative exists at every point in its domain. Conceptually, the definition of the total derivative expresses the idea that is the best linear approximation to at the point This can be made precise by quantifying the error in the linear approximation determined by To do so, write
where equals the error in the approximation. To say that the derivative of at is is equivalent to the statement
where is little o notation and indicates that is much smaller than as The total derivative is the unique linear transformation for which the error term is this small, and this is the sense in which it is the best linear approximation to
The function is differentiable if and only if each of its components is differentiable, so when studying total derivatives, it is often possible to work one coordinate at a time in the codomain. However, the same is not true of the coordinates in the domain. It is true that if is differentiable at , then each partial derivative exists at The converse does not hold: it can happen that all of the partial derivatives of at exist, but is not differentiable at This means that the function is very "rough" at , to such an extreme that its behavior cannot be adequately described by its behavior in the coordinate directions. When is not so rough, this cannot happen. More precisely, if all the partial derivatives of at exist and are continuous in a neighborhood of , then is differentiable at When this happens, then in addition, the total derivative of is the linear transformation corresponding to the Jacobian matrix of partial derivatives at that point.
мұндағы – жуықтама қатесін білдіреді. функцияның нүктедегі туындысы – дегені, шамамен теңдікке эквивалентті, мұндағы кішкентай «o» белгісі – аргументі нөлге жақындағанда, аргументтен әлдеқайда кіші екенін көрсетеді. Толық туынды – қателік мүшесі осы шамадан кіші болатын бірегей сызықтық түрлендіру, және осы себепті ол функцияның ең жақсы сызықтық жуықтамасы болып табылады. Функцияның барлық компоненттері дифференциалданатын болса ғана функция дифференциалданады, сондықтан толық туындыларды зерттегенде кодоменде бір координата бойынша жұмыс істеу жиі мүмкін болады. Алайда, домендегі координаталар үшін де осы айтуға болады. Егер функция нүктеде дифференциалданатын болса, онда оның әрбір дербес туындысы сол нүктеде болады. Керісіне, бұл әрқашан дұрыс емес: функцияның барлық дербес туындылары бар болуы мүмкін, бірақ функция нүктеде дифференциалдана бермейді. Бұл функцияның нүктеде өте «қиын» екенін білдіреді, сондықтан оның мінез-құлқы координаталық бағыттардағы мінез-құлқымен толыққанды сипатталмайды. функция мұндай қиын болмаса, мұндай жағдай туындамайды. Нақтырақ айтқанда, егер функцияның барлық дербес туындылары бар болса және олар нүктенің маңында үздіксіз болса, онда функция сол нүктеде дифференциалданады. Мұндай жағдайда, толық туындысы сол нүктедегі дербес туындылардың Якоби матрицасына сәйкес келетін сызықтық түрлендіру болады.
The linear map is called the (total) derivative or (total) differential of at Other notations for the total derivative include and A function is (totally) differentiable if its total derivative exists at every point in its domain. Conceptually, the definition of the total derivative expresses the idea that is the best linear approximation to at the point This can be made precise by quantifying the error in the linear approximation determined by To do so, write
where equals the error in the approximation. To say that the derivative of at is is equivalent to the statement
where is little o notation and indicates that is much smaller than as The total derivative is the unique linear transformation for which the error term is this small, and this is the sense in which it is the best linear approximation to
The function is differentiable if and only if each of its components is differentiable, so when studying total derivatives, it is often possible to work one coordinate at a time in the codomain. However, the same is not true of the coordinates in the domain. It is true that if is differentiable at , then each partial derivative exists at The converse does not hold: it can happen that all of the partial derivatives of at exist, but is not differentiable at This means that the function is very "rough" at , to such an extreme that its behavior cannot be adequately described by its behavior in the coordinate directions. When is not so rough, this cannot happen. More precisely, if all the partial derivatives of at exist and are continuous in a neighborhood of , then is differentiable at When this happens, then in addition, the total derivative of is the linear transformation corresponding to the Jacobian matrix of partial derivatives at that point.
Толық туындылар үшін тізбектік ереже
Тізбек ережесінің жалпы туындылар арқылы айтылуы өте әдемі. Екі функция және үшін, құрама функцияның толық туындысы нүктесінде келесідей болады:
Егер функциялардың толық туындылары олардың Якоби матрицаларымен белгіленсе, онда оң жақтағы құрама матрицалық көбейтуге айналады. Бұл қолданыстарда өте пайдалы, себебі ол құрама функция аргументтері арасындағы кез келген тәуелділікті ескеруге мүмкіндік береді.
Жалпы дифференциалдық теңдеу
Толық дифференциалдық теңдеу – толық туындылар арқылы жазылған дифференциалдық теңдеу. Сыртқы туынды координатқа тәуелді емес болғандықтан, нақты мағынасында, мұндай теңдеулер ішкі және геометриялық сипатқа ие.
Теңдеулер жүйелеріне қолдану
Экономикада, жалпы туынды теңдеулер жүйесінде пайда болуы жиі кездеседі. Мысалы, қарапайым сұраныс-ұсыныс жүйесінде, өнімнің сұранылатын q мөлшері, оның бағасы p және тұтынушылардың табысы I функциясы ретінде, D арқылы анықталуы мүмкін, соңғысы экзогенді айнымалы, ал өндірушілер ұсынатын өнімнің мөлшері, оның бағасы және екі экзогенді ресурстық шығындар r және w функциясы ретінде, S арқылы анықталуы мүмкін. Нәтижесіндегі теңдеулер жүйесі p және q айнымалыларының нарықтық тепе-теңдік мәндерін анықтайды. Мысалы, p-нің r-ге қатыстығы бойынша жалпы туындысы, нарықтық бағаның экзогенді айнымалы r-ге реакциясының белгісі мен мөлшерін көрсетеді. Аталған жүйеде жалпы алты мүмкін жалпы туынды бар, бұл контексте салыстырмалы-статикалық туындылар деп те аталады: dp/dr, dp/dw, dp/dI, dq/dr, dq/dw және dq/dI. Жалпы туындылар, теңдеулер жүйесін толығымен дифференциалдау арқылы, мысалы dr-ге бөлу арқылы, dq/dr және dp/dr белгісіз шамалар ретінде қарастырылып, 1=dI=dw=0 деп қойып, екі толығымен дифференциалдаған теңдеуді бірдей шешу арқылы, әдетте Крамер ережесін қолдану арқылы табылады.
determines the market equilibrium values of the variables p and q. The total derivative of p with respect to r, for example, gives the sign and magnitude of the reaction of the market price to the exogenous variable r. In the indicated system, there are a total of six possible total derivatives, also known in this context as comparative static derivatives: dp / dr, dp / dw, dp / dI, dq / dr, dq / dw, and dq / dI. The total derivatives are found by totally differentiating the system of equations, dividing through by, say dr, treating dq / dr and dp / dr as the unknowns, setting 1=dI = dw = 0, and solving the two totally differentiated equations simultaneously, typically by using Cramer's rule.