Введение
Тип производной в математике
В математике, полная производная функции f в точке является наилучшим линейным приближением функции вблизи этой точки относительно её аргументов. В отличие от частных производных, полная производная аппроксимирует функцию по отношению ко всем её аргументам, а не только к одному. Во многих случаях это эквивалентно одновременному рассмотрению всех частных производных. Термин "полная производная" используется главным образом, когда f является функцией нескольких переменных, поскольку когда f является функцией одной переменной, полная производная совпадает с обычной производной функции.
Суммарная производная как линейная карта
Пусть будет открытым подмножеством. Тогда функция считается (полностью) дифференцируемой в точке, если существует линейное преобразование , такое что
The linear map is called the (total) derivative or (total) differential of at Other notations for the total derivative include and A function is (totally) differentiable if its total derivative exists at every point in its domain. Conceptually, the definition of the total derivative expresses the idea that is the best linear approximation to at the point This can be made precise by quantifying the error in the linear approximation determined by To do so, write
where equals the error in the approximation. To say that the derivative of at is is equivalent to the statement
where is little o notation and indicates that is much smaller than as The total derivative is the unique linear transformation for which the error term is this small, and this is the sense in which it is the best linear approximation to
The function is differentiable if and only if each of its components is differentiable, so when studying total derivatives, it is often possible to work one coordinate at a time in the codomain. However, the same is not true of the coordinates in the domain. It is true that if is differentiable at , then each partial derivative exists at The converse does not hold: it can happen that all of the partial derivatives of at exist, but is not differentiable at This means that the function is very "rough" at , to such an extreme that its behavior cannot be adequately described by its behavior in the coordinate directions. When is not so rough, this cannot happen. More precisely, if all the partial derivatives of at exist and are continuous in a neighborhood of , then is differentiable at When this happens, then in addition, the total derivative of is the linear transformation corresponding to the Jacobian matrix of partial derivatives at that point.
Линейное отображение называется (полной) производной или (полным) дифференциалом функции в точке . Другие обозначения для полной производной включают и . Функция является (полностью) дифференцируемой, если ее полная производная существует в каждой точке ее области определения. Концептуально, определение полной производной выражает идею, что является наилучшим линейным приближением к в точке . Это можно уточнить, количественно оценив ошибку в линейном приближении, определяемом . Для этого запишем
The linear map is called the (total) derivative or (total) differential of at Other notations for the total derivative include and A function is (totally) differentiable if its total derivative exists at every point in its domain. Conceptually, the definition of the total derivative expresses the idea that is the best linear approximation to at the point This can be made precise by quantifying the error in the linear approximation determined by To do so, write
where equals the error in the approximation. To say that the derivative of at is is equivalent to the statement
where is little o notation and indicates that is much smaller than as The total derivative is the unique linear transformation for which the error term is this small, and this is the sense in which it is the best linear approximation to
The function is differentiable if and only if each of its components is differentiable, so when studying total derivatives, it is often possible to work one coordinate at a time in the codomain. However, the same is not true of the coordinates in the domain. It is true that if is differentiable at , then each partial derivative exists at The converse does not hold: it can happen that all of the partial derivatives of at exist, but is not differentiable at This means that the function is very "rough" at , to such an extreme that its behavior cannot be adequately described by its behavior in the coordinate directions. When is not so rough, this cannot happen. More precisely, if all the partial derivatives of at exist and are continuous in a neighborhood of , then is differentiable at When this happens, then in addition, the total derivative of is the linear transformation corresponding to the Jacobian matrix of partial derivatives at that point.
где – это ошибка в приближении. Утверждать, что производная функции в точке равна , эквивалентно утверждению
The linear map is called the (total) derivative or (total) differential of at Other notations for the total derivative include and A function is (totally) differentiable if its total derivative exists at every point in its domain. Conceptually, the definition of the total derivative expresses the idea that is the best linear approximation to at the point This can be made precise by quantifying the error in the linear approximation determined by To do so, write
where equals the error in the approximation. To say that the derivative of at is is equivalent to the statement
where is little o notation and indicates that is much smaller than as The total derivative is the unique linear transformation for which the error term is this small, and this is the sense in which it is the best linear approximation to
The function is differentiable if and only if each of its components is differentiable, so when studying total derivatives, it is often possible to work one coordinate at a time in the codomain. However, the same is not true of the coordinates in the domain. It is true that if is differentiable at , then each partial derivative exists at The converse does not hold: it can happen that all of the partial derivatives of at exist, but is not differentiable at This means that the function is very "rough" at , to such an extreme that its behavior cannot be adequately described by its behavior in the coordinate directions. When is not so rough, this cannot happen. More precisely, if all the partial derivatives of at exist and are continuous in a neighborhood of , then is differentiable at When this happens, then in addition, the total derivative of is the linear transformation corresponding to the Jacobian matrix of partial derivatives at that point.
где – это обозначение «о мало» и указывает на то, что значительно меньше, чем при . Полная производная – это единственное линейное преобразование, для которого член ошибки настолько мал, и в этом смысле оно является наилучшим линейным приближением к .
The linear map is called the (total) derivative or (total) differential of at Other notations for the total derivative include and A function is (totally) differentiable if its total derivative exists at every point in its domain. Conceptually, the definition of the total derivative expresses the idea that is the best linear approximation to at the point This can be made precise by quantifying the error in the linear approximation determined by To do so, write
where equals the error in the approximation. To say that the derivative of at is is equivalent to the statement
where is little o notation and indicates that is much smaller than as The total derivative is the unique linear transformation for which the error term is this small, and this is the sense in which it is the best linear approximation to
The function is differentiable if and only if each of its components is differentiable, so when studying total derivatives, it is often possible to work one coordinate at a time in the codomain. However, the same is not true of the coordinates in the domain. It is true that if is differentiable at , then each partial derivative exists at The converse does not hold: it can happen that all of the partial derivatives of at exist, but is not differentiable at This means that the function is very "rough" at , to such an extreme that its behavior cannot be adequately described by its behavior in the coordinate directions. When is not so rough, this cannot happen. More precisely, if all the partial derivatives of at exist and are continuous in a neighborhood of , then is differentiable at When this happens, then in addition, the total derivative of is the linear transformation corresponding to the Jacobian matrix of partial derivatives at that point.
Функция дифференцируема тогда и только тогда, когда каждый из ее компонентов дифференцируем, поэтому при изучении полных производных часто можно рассматривать координаты в области значений по одной за раз. Однако это не относится к координатам в области определения. Действительно, если функция дифференцируема в , то каждая частная производная существует в . Обратное неверно: может случиться так, что все частные производные функции в точке существуют, но сама функция не дифференцируема в . Это означает, что функция очень "негладка" в , настолько, что ее поведение нельзя адекватно описать ее поведением в координатных направлениях. Когда функция не так "негладка", этого не происходит. Более точно, если все частные производные функции в точке существуют и непрерывны в некоторой окрестности , то функция дифференцируема в . В этом случае полная производная функции является линейным преобразованием, соответствующим якобиану частных производных в этой точке.
The linear map is called the (total) derivative or (total) differential of at Other notations for the total derivative include and A function is (totally) differentiable if its total derivative exists at every point in its domain. Conceptually, the definition of the total derivative expresses the idea that is the best linear approximation to at the point This can be made precise by quantifying the error in the linear approximation determined by To do so, write
where equals the error in the approximation. To say that the derivative of at is is equivalent to the statement
where is little o notation and indicates that is much smaller than as The total derivative is the unique linear transformation for which the error term is this small, and this is the sense in which it is the best linear approximation to
The function is differentiable if and only if each of its components is differentiable, so when studying total derivatives, it is often possible to work one coordinate at a time in the codomain. However, the same is not true of the coordinates in the domain. It is true that if is differentiable at , then each partial derivative exists at The converse does not hold: it can happen that all of the partial derivatives of at exist, but is not differentiable at This means that the function is very "rough" at , to such an extreme that its behavior cannot be adequately described by its behavior in the coordinate directions. When is not so rough, this cannot happen. More precisely, if all the partial derivatives of at exist and are continuous in a neighborhood of , then is differentiable at When this happens, then in addition, the total derivative of is the linear transformation corresponding to the Jacobian matrix of partial derivatives at that point.
Правило цепочки для совокупных производных
Правило цепи имеет особенно элегантное выражение в терминах полных производных. Оно утверждает, что для двух функций f и g, полная производная композиции f(g(x)) в точке x удовлетворяет следующему:
Если полные производные f и g отождествляются с их матрицами Якоби, то композиция в правой части представляет собой просто матричное умножение. Это чрезвычайно полезно в приложениях, поскольку позволяет учитывать практически любые зависимости между аргументами составной функции.
Общее дифференциальное уравнение
Полное дифференциальное уравнение — это дифференциальное уравнение, выраженное с использованием полных производных. Поскольку внешняя производная не зависит от выбора координат, в смысле, который можно строго определить, такие уравнения являются внутренними и геометрическими.
Применение к системам уравнений
В экономике суммарная производная часто возникает в контексте системы уравнений. Например, простая система спроса и предложения может задавать количество q товара, которое требуется как функцию D от его цены p и дохода потребителей I, причем последний является экзогенной переменной, а также может задавать количество, поставляемое производителями, как функцию S от его цены и двух экзогенных переменных издержек ресурсов r и w. Получающаяся система уравнений
определяет рыночные равновесные значения переменных p и q. Суммарная производная p по r, например, показывает знак и величину реакции рыночной цены на экзогенную переменную r. В указанной системе существует в общей сложности шесть возможных суммарных производных, также известных в этом контексте как сравнительно-статические производные: dp/dr, dp/dw, dp/dI, dq/dr, dq/dw и dq/dI. Суммарные производные находятся путем полного дифференцирования системы уравнений, деления на, скажем, dr, рассмотрения dq/dr и dp/dr как неизвестных, установки dI = dw = 0 и одновременного решения двух полностью дифференцированных уравнений, как правило, с использованием правила Крамера.