Кіріспе
Q-ның әрбір шекті абельдік кеңейтілуі қандай да бір циклотомдық өрісте кіріктірілген. Алгебралық сандар теориясында, әрбір циклотомдық өріс рационалдық сандар өрісі Q-ның абельдік кеңейтілуі екені көрсетіледі, оның Галуа тобы белгілі бір түрінде болады. Кронкер-Вебер теоремасы шартты кері теореманы ұсынады: Q-ның әрбір шекті абельдік кеңейтілуі қандай да бір циклотомдық өрісте кіріктірілген. Басқаша айтқанда, Галуа тобы абельдік болатын әрбір алгебралық бүтін сан, рационалдық коэффициенттері бар бірлік түбірлерінің қосындысы түрінде өрнектеле алады. Мысалы, және теорема Леопольд Кронекер және Генрих Мартин Вебердің құрметіне аталған.
In algebraic number theory, it can be shown that every cyclotomic field is an abelian extension of the rational number field Q, having Galois group of the form The Kronecker–Weber theorem provides a partial converse: every finite abelian extension of Q is contained within some cyclotomic field. In other words, every algebraic integer whose Galois group is abelian can be expressed as a sum of roots of unity with rational coefficients. For example,
and
The theorem is named after Leopold Kronecker and Heinrich Martin Weber.
Дала теориясының тұжырымдамасы
Кронекер-Вебер теоремасын өрістер және өріс кеңейтулер тұрғысынан тұжырымдауға болады. Нақтырақ айтқанда, Кронекер-Вебер теоремасы былай глайды: рационал сандар Q-ның кез келген шекті абельдік кеңейтуі циклотомдық өрістің ішкі өрісі болып табылады. Яғни, егер алгебралық сан өрісінің Q үстінен Галуа тобы абельдік топ болса, онда бұл өріс рационал сандарға бірліктің түбірін қосу арқылы алынған өрістің ішкі өрісі болады. Q-ның берілген абельдік K кеңейтуі үшін, оны қамтитын ең кішкентай циклотомдық өріс болады. Теорема K-нің өткізгішін – K бірліктің n-ші түбірінен туындаған өрістің ішінде жататын ең кіші n бүтін саны ретінде анықтауға мүмкіндік береді. Мысалы, квадрат өрістердің өткізгіші олардың дискриминантының абсолюттік мәніне тең, бұл факт кластық өріс теориясында жалпыланған.
Тарих
Теорема алғаш рет осылай тұжырымдалған, бірақ оның дәлелі 2 дәрежесіндегі кеңейтулер үшін толық болмады. кейін дәлел жариялады, бірақ онда кемшіліктер мен қателер болды, олар көрсетіліп түзетілді. Алғашқы толық дәлелді ұсынған – .
published a proof, but this had some gaps and errors that were pointed out and corrected by The first complete proof was given by .
Жалпылау
жергілікті Kronecker–Weber теоремасын дәлелдеді, онда жергілікті өрістің кез келген абелдік кеңейтуі циклотомдық кеңейтулер және Любин-Тат кеңейтулерін қолдану арқылы құрастырылуы мүмкін. , және басқа да дәлелдер келтірді. Хилберттің он екінші мәселесі Кронэкер-Вебер теоремасын рационал сандардан өзге негізгі өрістерге жалпылауды және сол өрістер үшін бірліктің түбірлеріне баламалы түсініктерді сұрайды. Абелдік кеңейтулерге тағы бір көзқарас кластық өріс теориясы арқылы ұсынылады.