Введение
Каждое конечное абелево расширение Q содержится в некотором циклотомном поле. В алгебраической теории чисел можно показать, что каждое циклотомное поле является абелевым расширением поля рациональных чисел Q, имея группу Галуа определенной формы. Теорема Кронекера — Вебера предоставляет частичный обратный результат: каждое конечное абелево расширение Q содержится в некотором циклотомном поле. Иными словами, каждое алгебраическое целое число, группа Галуа которого абелева, может быть выражено как сумма корней из единицы с рациональными коэффициентами. Например,
и
Теорема названа в честь Леопольда Кронекера и Генриха Мартина Вебера.
In algebraic number theory, it can be shown that every cyclotomic field is an abelian extension of the rational number field Q, having Galois group of the form The Kronecker–Weber theorem provides a partial converse: every finite abelian extension of Q is contained within some cyclotomic field. In other words, every algebraic integer whose Galois group is abelian can be expressed as a sum of roots of unity with rational coefficients. For example,
and
The theorem is named after Leopold Kronecker and Heinrich Martin Weber.
Теоретическая формулировка поля
Теорема Кронекера — Вебера может быть сформулирована в терминах полей и расширений полей. В частности, теорема Кронекера — Вебера утверждает: любое конечное абелево расширение поля рациональных чисел Q является подполем циклотомического поля. Иными словами, если алгебраическое числовое поле имеет группу Галуа над Q, являющуюся абелевой группой, то это поле является подполем поля, полученного присоединением корня из единицы к рациональным числам. Для заданного абелева расширения K поля Q существует минимальное циклотомическое поле, содержащее его. Теорема позволяет определить проводник K как наименьшее целое число n, такое что K содержится в поле, порожденном n-ми корнями из единицы. Например, для квадратичных полей проводником является абсолютная величина их дискриминанта, что является фактом, обобщенным в теории классовых полей.
История
Теорема была впервые сформулирована , хотя его доказательство было неполным для расширений степени, являющейся степенью двойки. опубликовал доказательство, но оно содержало некоторые неточности и ошибки, которые были указаны и исправлены . Первое полное доказательство было дано .
published a proof, but this had some gaps and errors that were pointed out and corrected by The first complete proof was given by .
Обобщения
доказал локальную теорему Кронекера — Вебера, утверждающую, что любое абелево расширение локального поля может быть построено с помощью циклотомных и расширений Любина — Тате. , и привел другие доказательства. Двенадцатая проблема Гильберта ставит задачу об обобщении теоремы Кронекера — Вебера на базовые поля, отличные от поля рациональных чисел, а также об определении аналогов корней из единицы для этих полей. Теория полей классов предлагает иной подход к абелевым расширениям.