Кіріспе
N-ші дәрежелі Фурье түрлендіруі
Математикада, гармониялық талдау саласында, фракциялық Фурье түрлендіруі (FRFT) — Фурье түрлендіруін жалпылайтын сызықтық түрлендірулер жиыны. Оны Фурье түрлендіруінің n-ші дәрежесі ретінде қарастыруға болады, мұнда n бүтін сан болуы міндетті емес, сондықтан ол функцияны уақыт пен жиілік арасындағы кез келген аралық доменге түрлендіре алады. Оның қолданылуы сүзгіні жобалаудан және сигналдарды талдаудан бастап, фазаны қалпына келтіруге және үлгілерді тануға дейін жетеді. FRFT фракциялық конволюцияны, корреляцияны және басқа операцияларды анықтау үшін қолданылуы мүмкін, сондай-ақ сызықтық канондық түрлендіруге (LCT) жалпылауға болады. FRFT-тің алғашқы анықтамасын Кондон фазалық кеңістіктегі айналымдар үшін Грин функциясын шешу арқылы енгізді, ал Намиас Винердің Гермит полиномдары бойынша жұмысын жалпылады. Алайда, ол 1993 жылға дейін бірнеше топтар тәуелсіз түрде қайта енгізгенге дейін сигнал өңдеуде кеңінен танылмады. Содан бері фракциялық Фурье доменінде жолақты шектеулі сигналдар үшін Шеннонның дискретизация теоремасын кеңейтуге қызығушылық артты. Бейли мен Шварцтраубер «фракциялық Фурье түрлендіруі» дегеннің мүлдем басқа мағынасын z-түрлендіруінің тағы бір атауы ретінде енгізді, әсіресе жиілік кеңістігінде фракциялық мөлшерде ығыстырылған дискретті Фурье түрлендіруіне сәйкес жағдай үшін (кірістік сигналды сызықтық шыбыртқымен көбейту) және жиілік нүктелерінің фракциялық жиынтығында бағалау (мысалы, спектрдің шағын бөлігін қарастыру). (Мұндай түрлендірулерді Блюштейннің FFT алгоритмімен тиімді есептеуге болады.) Алайда, бұл терминология техникалық әдебиеттің көп бөлігінде FRFT-ге қарағанда сирек қолданылады. Осы мақаланың қалған бөлігінде FRFT сипатталады.
Кіріспе
Функцияның үздіксіз Фурье түрлендіруі – функцияны оның жиілік түріне бейнелейтін кеңістіктің унитар операторы болып табылады (барлық өрнектер нүктелік емес, жалпылай түсініледі):
and is determined by via the inverse transform
Let us study its n th iterated defined by
and when n is a non negative integer, and Their sequence is finite since is a 4 periodic automorphism: for every function ,
More precisely, let us introduce the parity operator that inverts , Then the following properties hold:
The FRFT provides a family of linear transforms that further extends this definition to handle non integer powers of the FT.
және кері түрлендіру арқылы анықталады:
and is determined by via the inverse transform
Let us study its n th iterated defined by
and when n is a non negative integer, and Their sequence is finite since is a 4 periodic automorphism: for every function ,
More precisely, let us introduce the parity operator that inverts , Then the following properties hold:
The FRFT provides a family of linear transforms that further extends this definition to handle non integer powers of the FT.
Енді оның n-ші итерациясын қарастырайық, анықталған:
and is determined by via the inverse transform
Let us study its n th iterated defined by
and when n is a non negative integer, and Their sequence is finite since is a 4 periodic automorphism: for every function ,
More precisely, let us introduce the parity operator that inverts , Then the following properties hold:
The FRFT provides a family of linear transforms that further extends this definition to handle non integer powers of the FT.
және n – теріс емес бүтін сан болғанда. Олардың тізбегі шекті, себебі бұл 4-кезеңдік автоморфизм: кез келген функция үшін .
and is determined by via the inverse transform
Let us study its n th iterated defined by
and when n is a non negative integer, and Their sequence is finite since is a 4 periodic automorphism: for every function ,
More precisely, let us introduce the parity operator that inverts , Then the following properties hold:
The FRFT provides a family of linear transforms that further extends this definition to handle non integer powers of the FT.
Дәлірек айтқанда, инверсиялық паритет операторын енгізейік , содан кейін келесі қасиеттер орындалады:
and is determined by via the inverse transform
Let us study its n th iterated defined by
and when n is a non negative integer, and Their sequence is finite since is a 4 periodic automorphism: for every function ,
More precisely, let us introduce the parity operator that inverts , Then the following properties hold:
The FRFT provides a family of linear transforms that further extends this definition to handle non integer powers of the FT.
FRFT – сызықтық түрлендірулер отбасын ұсынады, бұл Фурье түрлендіруінің бүтін емес дәрежелерін өңдеу үшін осы анықтаманы одан әрі кеңейтеді.
and is determined by via the inverse transform
Let us study its n th iterated defined by
and when n is a non negative integer, and Their sequence is finite since is a 4 periodic automorphism: for every function ,
More precisely, let us introduce the parity operator that inverts , Then the following properties hold:
The FRFT provides a family of linear transforms that further extends this definition to handle non integer powers of the FT.
Байланысты түрлендірулер
Сондай-ақ, дискретті Фурье түрлендіруі сияқты ұқсас түрлендірулердің байланысты бөлшектік жалпыламалары бар. Дискретті бөлшектік Фурье түрлендіруін Зеев Залевский анықтады. Субполиномиалдық уақытта дискретті бөлшектік Фурье түрлендіруінің нұсқасын іске асыруға арналған кванттық алгоритмді Сомма сипаттады. Бөлшектік толқын түрлендіру (FRWT) – бөлшектік Фурье түрлендіру салаларындағы классикалық толқын түрлендірудің жалпыламасы. Толқын түрлендіруіне байланысты жалпылама үшін чирплет түрлендіруі.
Жалпылау
Фурье трансформациясы негізінен бозондық; ол суперпозиция принципімен және оған байланысты интерференциялық суреттермен үйлесімді болғандықтан жұмыс істейді. Фермиондық Фурье трансформациясы да бар. Бұлар суперсимметриялық FRFT және суперсимметриялық Радон трансформациясына обобщалды. Кванттық тізбектер бірлік операцияларына негізделгендіктен, олар интегралды түрлендірулерді есептеуге пайдалы, себебі соңғылары функциялық кеңістікте бірлік операторлар болып табылады. FRFT-ні іске асыратын кванттық тізбек құрастырылды.
Интерпретация
Фурье трансформациясының әдеттегі түсіндірмесі – уақыт доменіндегі сигналдың жиілік доменіндегі сигналға түрленуі. Кері Фурье трансформациясының түсіндірілуі – жиілік доменіндегі сигналдың уақыт доменіндегі сигналға түрленуі. Бөлшектік Фурье трансформациясы сигналды (уақыт немесе жиілік доменінде) уақыт пен жиілік арасындағы доменге түрлендіреді: бұл уақыт-жиілік доменіндегі бұрылу. Бұл көзқарас сызықтық каноникалық трансформациямен кеңейтіледі, ол бөлшектік Фурье трансформациясын кеңейтеді және бұрылудан өзге уақыт-жиілік доменінің сызықтық трансформацияларына мүмкіндік береді. Мысал ретінде төмендегі суретті қарастырайық. Егер уақыт доменіндегі сигнал тіктөртбұрышты болса (төмендегідей), онда ол жиілік доменінде sinc функциясы болады. Бірақ егер тіктөртбұрышты сигналға бөлшектік Фурье трансформациясын қолдансақ, трансформация нәтижесі уақыт пен жиілік арасындағы доменде болады. Бөлшектік Фурье трансформациясы – уақыт-жиілік таралуына бұрылу операциясы. Жоғарыдағы анықтамаға сәйкес, α = 0 болғанда бөлшектік Фурье трансформациясын қолданғаннан кейін өзгеріс болмайды, ал α = π/2 болғанда бөлшектік Фурье трансформациясы қарапайым Фурье трансформациясына айналады, ол уақыт-жиілік таралуын π/2 бұрылысымен айналдырады. α-ның басқа мәндері үшін бөлшектік Фурье трансформациясы уақыт-жиілік таралуын α-ға сәйкес айналдырады. Төмендегі сурет α-ның әртүрлі мәндерінде бөлшектік Фурье трансформациясының нәтижелерін көрсетеді.
Қолдану
Фракциялық Фурье түрлендіруі уақыт-жиілік талдауында және DSP-де қолданылуы мүмкін. Шуды сүзгілеу пайдалы, бірақ бұл уақыт-жиілік доменінде қажетті сигналмен қабаттаспаған жағдайда ғана мүмкін. Келесі мысалды қарастырайық. Шуды жою үшін сүзгіні тікелей қолдануға болмайды, бірақ фракциялық Фурье түрлендіруінің көмегімен сигналды (қажетті сигнал мен шуды қоса алғанда) алдымен бұруға болады. Содан кейін тек қажетті сигналдың өтуіне рұқсат беретін арнайы сүзгі қолданылады. Осылайша, шу толығымен жойылады. Содан кейін сигналды бастапқы күйіне қайтару үшін фракциялық Фурье түрлендіруі тағы қолданылады, нәтижесінде қажетті сигнал алынады. Осылайша, уақыт доменіндегі кесу немесе жиілік доменіндегі төмен өткізгіш сүзгілерді пайдалану арқылы уақыт-жиілік кеңістігінде кез келген дөңгелек жиынтықты кесіп тастауға болады. Керісінше, фракциялық Фурье түрлендіруінсіз уақыт немесе жиілік доменіндегі құралдарды пайдалану тек осьтерге параллель тіктөртбұрыштарды кесуге мүмкіндік береді. Фракциялық Фурье түрлендірулері кванттық физикада да қолданылады. Мысалы, олар энтропиялық белгісіздік қатынастарын құруға, бір фотонмен жоғары өлшемді кванттық кілт тарату схемаларында және фотон жұптарының кеңістіктік байланысын байқауға қолданылады. Олар оптикалық жүйелерді жобалауда және голографиялық сақтау тиімділігін арттыруда да пайдалы.