Введение
N-я степень преобразования Фурье
В математике, в области гармонического анализа, дробное преобразование Фурье (FRFT) — это семейство линейных преобразований, обобщающих преобразование Фурье. Его можно рассматривать как преобразование Фурье, возведённое в n-ю степень, где n не обязательно должно быть целым числом, таким образом, оно может преобразовывать функцию в любую промежуточную область между временной и частотной. Его применение варьируется от разработки фильтров и анализа сигналов до восстановления фазы и распознавания образов. FRFT может использоваться для определения дробной свёртки, корреляции и других операций, а также может быть дополнительно обобщено в линейное каноническое преобразование (LCT). Раннее определение FRFT было предложено Кондоном при решении уравнения для функции Грина для вращений фазового пространства, а также Намиасом, обобщившим работы Винера по полиномам Эрмита. Однако оно не получило широкого признания в обработке сигналов, пока не было независимо повторно введено около 1993 года несколькими группами. С тех пор наблюдается всплеск интереса к расширению теоремы отсчётов Шеннона для сигналов, ограниченных по полосе в дробной области Фурье. Совершенно иное значение для "дробного преобразования Фурье" было введено Бейли и Свартцтраубером как, по сути, другое название для z-преобразования, и в частности для случая, соответствующего дискретному преобразованию Фурье, сдвинутому на дробную величину в частотном пространстве (умножение входного сигнала линейным чирпом) и вычисление в дробном наборе частотных точек (например, рассматривая только небольшую часть спектра). (Такие преобразования могут быть эффективно вычислены алгоритмом FFT Блюстайна.) Однако эта терминология вышла из употребления в большей части технической литературы в пользу FRFT. В остальной части статьи описывается FRFT.
Введение
Непрерывная трансформация Фурье функции является унитарным оператором в пространстве, отображающим функцию в её частотное представление (все выражения рассматриваются в смысле, а не поточечно):
and is determined by via the inverse transform
Let us study its n th iterated defined by
and when n is a non negative integer, and Their sequence is finite since is a 4 periodic automorphism: for every function ,
More precisely, let us introduce the parity operator that inverts , Then the following properties hold:
The FRFT provides a family of linear transforms that further extends this definition to handle non integer powers of the FT.
и определяется обратной трансформацией:
and is determined by via the inverse transform
Let us study its n th iterated defined by
and when n is a non negative integer, and Their sequence is finite since is a 4 periodic automorphism: for every function ,
More precisely, let us introduce the parity operator that inverts , Then the following properties hold:
The FRFT provides a family of linear transforms that further extends this definition to handle non integer powers of the FT.
Изучим её n-ю итерированную, определяемую как
and is determined by via the inverse transform
Let us study its n th iterated defined by
and when n is a non negative integer, and Their sequence is finite since is a 4 periodic automorphism: for every function ,
More precisely, let us introduce the parity operator that inverts , Then the following properties hold:
The FRFT provides a family of linear transforms that further extends this definition to handle non integer powers of the FT.
и когда n – неотрицательное целое число. Последовательность этих итераций конечна, поскольку является 4-периодическим автоморфизмом: для любой функции .
and is determined by via the inverse transform
Let us study its n th iterated defined by
and when n is a non negative integer, and Their sequence is finite since is a 4 periodic automorphism: for every function ,
More precisely, let us introduce the parity operator that inverts , Then the following properties hold:
The FRFT provides a family of linear transforms that further extends this definition to handle non integer powers of the FT.
В частности, введем оператор чётности , который инвертирует . Тогда выполняются следующие свойства:
and is determined by via the inverse transform
Let us study its n th iterated defined by
and when n is a non negative integer, and Their sequence is finite since is a 4 periodic automorphism: for every function ,
More precisely, let us introduce the parity operator that inverts , Then the following properties hold:
The FRFT provides a family of linear transforms that further extends this definition to handle non integer powers of the FT.
FRFT предоставляет семейство линейных преобразований, которое расширяет это определение для работы с нецелыми степенями преобразования Фурье.
and is determined by via the inverse transform
Let us study its n th iterated defined by
and when n is a non negative integer, and Their sequence is finite since is a 4 periodic automorphism: for every function ,
More precisely, let us introduce the parity operator that inverts , Then the following properties hold:
The FRFT provides a family of linear transforms that further extends this definition to handle non integer powers of the FT.
Связанные трансформации
Существуют также связанные дробные обобщения подобных преобразований, такие как дискретное преобразование Фурье. Дискретное дробное преобразование Фурье было определено Зеевом Залевским. Квантовый алгоритм для реализации версии дискретного дробного преобразования Фурье за субполиномиальное время описан Соммой. Фракционное вейвлет-преобразование (FRWT) является обобщением классического вейвлет-преобразования в областях дробного преобразования Фурье. Чирплет-преобразование представляет собой связанное обобщение вейвлет-преобразования.
Обобщения
Трансформация Фурье по своей сути является бозонной; она работает, поскольку соответствует принципу суперпозиции и связанным с ним интерференционным картинам. Существует также фермионная трансформация Фурье. Эти трансформации были обобщены в суперсимметричную FRFT и суперсимметричное преобразование Радона. Поскольку квантовые схемы основаны на унитарных операциях, они полезны для вычисления интегральных преобразований, так как последние представляют собой унитарные операторы в функциональном пространстве. Квантовая схема, реализующая FRFT, была разработана.
Интерпретация
Обычная интерпретация преобразования Фурье — это преобразование сигнала из временной области в частотную область. С другой стороны, обратное преобразование Фурье интерпретируется как преобразование сигнала из частотной области во временную область. Фракционное преобразование Фурье преобразует сигнал (либо во временной, либо в частотной области) в область, промежуточную между временем и частотой: это поворот в области времени-частоты. Эта концепция обобщается линейным каноническим преобразованием, которое обобщает фракционное преобразование Фурье и позволяет выполнять линейные преобразования области времени-частоты, отличные от поворота. В качестве примера рассмотрим рисунок ниже. Если сигнал во временной области прямоугольный (как показано ниже), он становится функцией sinc в частотной области. Однако, если применить фракционное преобразование Фурье к прямоугольному сигналу, выходное значение преобразования будет находиться в области между временем и частотой. Фракционное преобразование Фурье представляет собой операцию поворота на времени-частотном распределении. Из вышеприведенного определения следует, что при α = 0 после применения фракционного преобразования Фурье изменений не произойдет, а при α = π/2 фракционное преобразование Фурье превращается в обычное преобразование Фурье, которое поворачивает времени-частотное распределение на π/2. При других значениях α фракционное преобразование Фурье поворачивает времени-частотное распределение на угол, равный α. На следующем рисунке показаны результаты фракционного преобразования Фурье для различных значений α.
Применение
Фракционное преобразование Фурье может использоваться в анализе временной частотной характеристики и цифровой обработке сигналов (DSP). Оно полезно для фильтрации шума, но при условии, что шум не перекрывается с полезным сигналом во временной частотной области. Рассмотрим следующий пример. Мы не можем применить фильтр напрямую для устранения шума, но с помощью фракционного преобразования Фурье мы можем сначала повернуть сигнал (включая полезный сигнал и шум). Затем мы применяем специальный фильтр, который пропускает только полезный сигнал. Таким образом, шум полностью удаляется. Затем мы снова используем фракционное преобразование Фурье, чтобы вернуть сигнал в исходное положение и получить полезный сигнал. Таким образом, используя просто усечение в области времени или, эквивалентно, фильтры нижних частот в частотной области, можно выделить любое выпуклое множество в пространстве времени-частоты. В отличие от этого, использование инструментов, работающих непосредственно во временной или частотной областях, без фракционного преобразования Фурье, позволило бы выделять только прямоугольники, параллельные осям. Фракционные преобразования Фурье также находят применение в квантовой физике. Например, они используются для формулирования соотношений неопределенности на основе энтропии, в многомерных схемах квантового распределения ключей с использованием одиночных фотонов и при наблюдении пространственной запутанности пар фотонов. Они также полезны при проектировании оптических систем и для оптимизации эффективности голографической памяти.