Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Суперсимметриялы кванттық механика
Quantum mechanics with supersymmetry
Теориялық физикада суперсимметриялық кванттық механика – кванттық өріс теориясы емес, қарапайым кванттық механиканың шеңберінде суперсимметрия қолданылатын зерттеу саласы. Суперсимметриялық кванттық механика жоғары энергиялық физикадан тыс, кванттық механикалық есептерді шешудің жаңа тәсілдерін ұсыну, WKB жуықтауын кеңейту және статистикалық механика сияқты салаларда қолданыс тапқан.
In theoretical physics, supersymmetric quantum mechanics is an area of research where supersymmetry are applied to the simpler setting of plain quantum mechanics, rather than quantum field theory. Supersymmetric quantum mechanics has found applications outside of high energy physics, such as providing new methods to solve quantum mechanical problems, providing useful extensions to the WKB approximation, and statistical mechanics.
Кіріспе
Суперсимметрияның (SUSY) салдарының түсінілуі математикалық жағынан қиындық тудырды, сондай-ақ симметрияның бұзылуын, яғни байқалатын тең массалы серіктес бөлшектердің болмауын түсіндіретін теорияларды жасау да қиын болды. Осы мәселелерді шешу үшін физиктер суперсимметриялық кванттық механиканы дамытты, ол кванттық өріс теориясына қарағанда кванттық механикаға суперсимметриялық супералгебраны қолдану болып табылады. Бұл қарапайым ортада SUSY-нің салдарына зерттеу жасау жаңа түсініктерге алып келеді деп үміттенілді; ерекше жағдай, бұл күш кванттық механиканың өзінде зерттеудің жаңа салаларын құрды. Мысалы, студенттер сутек атомын еңбекті Шредингер теңдеуіне Кулон потенциалын енгізуден басталатын күрделі процесс арқылы «шешуге» үйренеді. Көптеген дифференциалдық теңдеулерді қолданғаннан кейін, талдау Лагерр полиномдары үшін рекурсиялық қатынас береді. Нәтижесінде сутек атомының энергиялық күйлерінің спектрі (кванттық сандар n және l арқылы белгіленеді) пайда болады. SUSY-ден алынған идеяларды қолдану арқылы соңғы нәтиже айтарлықтай оңайырақ шығарылуы мүмкін, операторлық әдістер гармоникалық осцилляторды шешу үшін қолданылатындай. Дирак теңдеуін қолдана отырып, сутек спектрін дәлірек табу үшін ұқсас суперсимметриялық тәсілді де қолдануға болады. Қызығы, бұл тәсіл Эрвин Шредингердің сутек атомын алғаш шешу әдісіне ұқсас. Әрине, ол өз шешімін суперсимметриялық деп атамады, өйткені SUSY болашақта отыз жылдан кейін пайда болды. Сутек атомының SUSY шешімі – SUSY ұсынатын формаға инвариантты потенциалдардың өте жалпы шешімдер класының бір ғана мысалы, осы санатқа кванттық механиканың кіріспе курстарында оқытылатын көптеген потенциалдар кіреді. Суперсимметриялық кванттық механика белгілі бір математикалық қатынасты бөлісетін және серіктес гамильтондар деп аталатын гамильтондар жұптарын қамтиды. (Гамильтондарда кездесетін потенциалдық энергия мүшелері серіктес потенциалдар деп аталады.) Кіріспе теорема әрбір гамильтонияның өзіндік күйі үшін оның серіктес гамильтониясында бірдей энергияға ие сәйкес өзіндік күй бар екенін көрсетеді (мүмкін, нөлдік энергияның өзіндік күйлерін қоспағанда). Бұл факт өзіндік күйлер спектрінің көптеген қасиеттерін анықтау үшін пайдаланылуы мүмкін. Бұл SUSY-нің бастапқы сипаттамасына ұқсас, ол бозондар мен фермиондарға қатысты. Біз «бозондық гамильтониянды» көзге елестете аламыз, оның өзіндік күйлері біздің теориямыздың әртүрлі бозондары болады. Осы гамильтонияның SUSY серіктесі «фермиондық» болады, ал оның өзіндік күйлері теорияның фермиондары болады. Әр бозонның тең энергиялы фермиондық серіктесі болады, бірақ релятивистік әлемде энергия мен масса өзара алмастырылатындықтан, серіктес бөлшектердің де массасы тең дей аламыз. SUSY тұжырымдары WKB жуықтауына Bohr-Sommerfeld кванттау шартының модификацияланған нұсқасы түрінде пайдалы кеңейтулер берді. Сонымен қатар, SUSY кванттық емес статистикалық механикаға Фёккер-Планк теңдеуі арқылы қолданылды, бұл жоғары энергиялы бөлшектер физикасындағы бастапқы шабыт соқпаққа тірелсе де, оны зерттеу көптеген пайдалы нәтижелерге әкелді.
Understanding the consequences of supersymmetry (SUSY) has proven mathematically daunting, and it has likewise been difficult to develop theories that could account for symmetry breaking, i. e., the lack of observed partner particles of equal mass. To make progress on these problems, physicists developed supersymmetric quantum mechanics, an application of the supersymmetry superalgebra to quantum mechanics as opposed to quantum field theory. It was hoped that studying SUSY's consequences in this simpler setting would lead to new understanding; remarkably, the effort created new areas of research in quantum mechanics itself. For example, students are typically taught to "solve" the hydrogen atom by a laborious process which begins by inserting the Coulomb potential into the Schrödinger equation. After a considerable amount of work using many differential equations, the analysis produces a recursion relation for the Laguerre polynomials. The outcome is the spectrum of hydrogen atom energy states (labeled by quantum numbers n and l). Using ideas drawn from SUSY, the final result can be derived with significantly greater ease, in much the same way that operator methods are used to solve the harmonic oscillator. A similar supersymmetric approach can also be used to more accurately find the hydrogen spectrum using the Dirac equation. Oddly enough, this approach is analogous to the way Erwin Schrödinger first solved the hydrogen atom. Of course, he did not call his solution supersymmetric, as SUSY was thirty years in the future. The SUSY solution of the hydrogen atom is only one example of the very general class of solutions which SUSY provides to shape invariant potentials, a category which includes most potentials taught in introductory quantum mechanics courses. SUSY quantum mechanics involves pairs of Hamiltonians which share a particular mathematical relationship, which are called partner Hamiltonians. (The potential energy terms which occur in the Hamiltonians are then called partner potentials.) An introductory theorem shows that for every eigenstate of one Hamiltonian, its partner Hamiltonian has a corresponding eigenstate with the same energy (except possibly for zero energy eigenstates). This fact can be exploited to deduce many properties of the eigenstate spectrum. It is analogous to the original description of SUSY, which referred to bosons and fermions. We can imagine a "bosonic Hamiltonian", whose eigenstates are the various bosons of our theory. The SUSY partner of this Hamiltonian would be "fermionic", and its eigenstates would be the theory's fermions. Each boson would have a fermionic partner of equal energy—but, in the relativistic world, energy and mass are interchangeable, so we can just as easily say that the partner particles have equal mass. SUSY concepts have provided useful extensions to the WKB approximation in the form of a modified version of the Bohr Sommerfeld quantization condition. In addition, SUSY has been applied to non quantum statistical mechanics through the Fokker–Planck equation, showing that even if the original inspiration in high energy particle physics turns out to be a blind alley, its investigation has brought about many useful benefits.
SUSY QM супералгебрасы
Кванттық механиканың негіздерінде операторлар алгебрасы сол операторлар арасындағы коммутациялық қатынастар арқылы анықталады. Мысалы, координата мен импульстің канондық операторлары коммутаторға ие (Бұл жерде біз "табиғи бірліктерді" қолданамыз, онда Планк тұрақтысы 1-ге тең). Күрделірек жағдай – бұрыштық момент операторларының алгебрасы; бұл шамалар үш өлшемді кеңістіктің айналу симметрияларымен тығыз байланысты. Бұл ұғымды кеңейту үшін біз антикоммутаторды анықтаймыз, ол операторларды обыкновенный коммутатормен ұқсас байланыстырады, бірақ қарама-қарсы таңбамен:
In fundamental quantum mechanics, we learn that an algebra of operators is defined by commutation relations among those operators. For example, the canonical operators of position and momentum have the commutator (Here, we use "natural units" where Planck's constant is set equal to 1.) A more intricate case is the algebra of angular momentum operators; these quantities are closely connected to the rotational symmetries of three dimensional space. To generalize this concept, we define an anticommutator, which relates operators the same way as an ordinary commutator, but with the opposite sign:
Егер операторлар коммутаторлармен қатар антикоммутаторлармен де байланысты болса, онда олар Ли супералгебрасының құрамына жатады делінеді. Егер бізде гамильтониан және операторлар жиынтығымен сипатталған кванттық жүйе болса, онда келесі антикоммутациялық қатынас барлық үшін орындалса, біз оны суперсимметриялық деп атаймыз:
If operators are related by anticommutators as well as commutators, we say they are part of a Lie superalgebra. Let's say we have a quantum system described by a Hamiltonian and a set of operators We shall call this system supersymmetric if the following anticommutation relation is valid for all :
Егер осылай болса, онда біз оларды жүйенің суперзарядтары деп атаймыз.
If this is the case, then we call the system's supercharges.
Қолданбалар
2021 жылы суперсимметриялық кванттық механика опциялардың бағасын анықтауға, кванттық қаржы нарықтарын талдауға және қаржылық желілерді зерттеуге қолданылды.
In 2021, supersymmetric quantum mechanics was applied to option pricing and the analysis of markets in quantum finance, and to financial networks.