Квантовая механика с суперсимметрией

Введение

В теоретической физике суперсимметричная квантовая механика — это область исследований, в которой суперсимметрия применяется к более простому контексту обычной квантовой механики, а не к квантовой теории поля. Суперсимметричная квантовая механика нашла применение за пределами физики высоких энергий, например, в разработке новых методов решения квантово-механических задач, в создании полезных обобщений приближения ВКБ и в статистической механике.

Введение

Понимание последствий суперсимметрии (SUSY) оказалось математически сложной задачей, и также было трудно разработать теории, способные объяснить нарушение симметрии, то есть отсутствие наблюдаемых партнерных частиц с одинаковой массой. Чтобы добиться прогресса в решении этих проблем, физики разработали суперсимметричную квантовую механику – применение супералгебры суперсимметрии к квантовой механике, в отличие от квантовой теории поля. Возлагались надежды, что изучение последствий SUSY в этой более простой постановке приведет к новому пониманию; примечательно, что эти усилия создали новые области исследований в самой квантовой механике. Например, студентов обычно учат "решать" атом водорода трудоемким процессом, начинающимся с подстановки кулоновского потенциала в уравнение Шредингера. После значительных усилий с использованием множества дифференциальных уравнений, анализ приводит к рекуррентному соотношению для полиномов Лагерра. Результатом является спектр энергетических состояний атома водорода, определяемый квантовыми числами n и l. Используя идеи, заимствованные из SUSY, конечный результат можно получить значительно проще, примерно так же, как используются операторные методы для решения гармонического осциллятора. Аналогичный суперсимметричный подход также может быть использован для более точного определения спектра водорода с помощью уравнения Дирака. Любопытно, что этот подход аналогичен тому, как Эрвин Шредингер впервые решил задачу об атоме водорода. Конечно, он не называл свое решение суперсимметричным, поскольку SUSY появилось на тридцать лет позже. Решение атома водорода в рамках SUSY – лишь один пример очень общего класса решений, которые SUSY предоставляет для потенциалов, инвариантных относительно формы, категории, включающей большинство потенциалов, изучаемых на вводных курсах квантовой механики. Суперсимметричная квантовая механика оперирует парами гамильтонианов, связанных определенным математическим соотношением, которые называются партнерскими гамильтонианами. (Потенциальные энергии, входящие в гамильтонианы, называются партнерскими потенциалами.) Основная теорема показывает, что для каждого собственного состояния одного гамильтониана его партнерский гамильтониан имеет соответствующее собственное состояние с той же энергией (за исключением, возможно, собственных состояний с нулевой энергией). Этот факт можно использовать для вывода многих свойств спектра собственных состояний. Это аналогично первоначальному описанию SUSY, которое относилось к бозонам и фермионам. Можно представить себе "бозонный гамильтониан", собственные состояния которого соответствуют различным бозонам нашей теории. SUSY-партнер этого гамильтониана будет "фермионным", а его собственные состояния – фермионам теории. Каждый бозон будет иметь фермионного партнера с равной энергией, но в релятивистском мире энергия и масса взаимозаменяемы, поэтому можно сказать, что у партнерных частиц одинаковая масса. Концепции SUSY предоставили полезные обобщения приближения ВКБ в виде модифицированной версии условия квантования Бора — Зоммерфельда. Кроме того, SUSY было применено к неквантовой статистической механике через уравнение Фоккера — Планка, показывая, что даже если первоначальный импульс в физике частиц высоких энергий окажется бесперспективным, его исследование принесло много полезных результатов.

Understanding the consequences of supersymmetry (SUSY) has proven mathematically daunting, and it has likewise been difficult to develop theories that could account for symmetry breaking, i. e., the lack of observed partner particles of equal mass. To make progress on these problems, physicists developed supersymmetric quantum mechanics, an application of the supersymmetry superalgebra to quantum mechanics as opposed to quantum field theory. It was hoped that studying SUSY's consequences in this simpler setting would lead to new understanding; remarkably, the effort created new areas of research in quantum mechanics itself. For example, students are typically taught to "solve" the hydrogen atom by a laborious process which begins by inserting the Coulomb potential into the Schrödinger equation. After a considerable amount of work using many differential equations, the analysis produces a recursion relation for the Laguerre polynomials. The outcome is the spectrum of hydrogen atom energy states (labeled by quantum numbers n and l). Using ideas drawn from SUSY, the final result can be derived with significantly greater ease, in much the same way that operator methods are used to solve the harmonic oscillator. A similar supersymmetric approach can also be used to more accurately find the hydrogen spectrum using the Dirac equation. Oddly enough, this approach is analogous to the way Erwin Schrödinger first solved the hydrogen atom. Of course, he did not call his solution supersymmetric, as SUSY was thirty years in the future. The SUSY solution of the hydrogen atom is only one example of the very general class of solutions which SUSY provides to shape invariant potentials, a category which includes most potentials taught in introductory quantum mechanics courses. SUSY quantum mechanics involves pairs of Hamiltonians which share a particular mathematical relationship, which are called partner Hamiltonians. (The potential energy terms which occur in the Hamiltonians are then called partner potentials.) An introductory theorem shows that for every eigenstate of one Hamiltonian, its partner Hamiltonian has a corresponding eigenstate with the same energy (except possibly for zero energy eigenstates). This fact can be exploited to deduce many properties of the eigenstate spectrum. It is analogous to the original description of SUSY, which referred to bosons and fermions. We can imagine a "bosonic Hamiltonian", whose eigenstates are the various bosons of our theory. The SUSY partner of this Hamiltonian would be "fermionic", and its eigenstates would be the theory's fermions. Each boson would have a fermionic partner of equal energy—but, in the relativistic world, energy and mass are interchangeable, so we can just as easily say that the partner particles have equal mass. SUSY concepts have provided useful extensions to the WKB approximation in the form of a modified version of the Bohr Sommerfeld quantization condition. In addition, SUSY has been applied to non quantum statistical mechanics through the Fokker–Planck equation, showing that even if the original inspiration in high energy particle physics turns out to be a blind alley, its investigation has brought about many useful benefits.

Супералгебра SUSY QM

В фундаментальной квантовой механике мы изучаем, что алгебра операторов определяется соотношениями коммутации между этими операторами. Например, канонические операторы координаты и импульса имеют коммутатор (здесь мы используем "естественные единицы", в которых постоянная Планка приравнена к 1). Более сложным примером является алгебра операторов углового момента; эти величины тесно связаны с вращательными симметриями трехмерного пространства. Чтобы обобщить эту концепцию, мы определяем антикоммутатор, который связывает операторы так же, как обычный коммутатор, но с противоположным знаком:

Если операторы связаны как антикоммутаторами, так и коммутаторами, мы говорим, что они являются частью супералгебры Ли. Пусть у нас есть квантовая система, описываемая гамильтонианом и набором операторов . Мы будем называть эту систему суперсимметричной, если для всех выполняется следующее антикоммутационное соотношение:

В этом случае мы называем суперзарядами системы.

Приложения

В 2021 году суперсимметричная квантовая механика была применена к оценке опционов и анализу рынков в области квантовых финансов, а также к финансовым сетям.