Кіріспе
S пішінді қисық
қайталану қатынасы
the recurrence relation
A logistic function or logistic curve is a common S shaped curve (sigmoid curve) with the equation
where
, the value of the function's midpoint;
, the supremum of the values of the function;
, the logistic growth rate or steepness of the curve. For values of in the domain of real numbers from to , the S curve shown on the right is obtained, with the graph of approaching as approaches and approaching zero as approaches
The logistic function finds applications in a range of fields, including biology (especially ecology), biomathematics, chemistry, demography, economics, geoscience, mathematical psychology, probability, sociology, political science, linguistics, statistics, and artificial neural networks. A generalization of the logistic function is the hyperbolastic function of type I. The standard logistic function, where , is sometimes simply called the sigmoid. It is also sometimes called the expit, being the inverse of the logit.
Логистикалық функция немесе логистикалық қисық – бұл кең таралған S пішінді қисық (сигмоидтық қисық), оның теңдеуі:
the recurrence relation
A logistic function or logistic curve is a common S shaped curve (sigmoid curve) with the equation
where
, the value of the function's midpoint;
, the supremum of the values of the function;
, the logistic growth rate or steepness of the curve. For values of in the domain of real numbers from to , the S curve shown on the right is obtained, with the graph of approaching as approaches and approaching zero as approaches
The logistic function finds applications in a range of fields, including biology (especially ecology), biomathematics, chemistry, demography, economics, geoscience, mathematical psychology, probability, sociology, political science, linguistics, statistics, and artificial neural networks. A generalization of the logistic function is the hyperbolastic function of type I. The standard logistic function, where , is sometimes simply called the sigmoid. It is also sometimes called the expit, being the inverse of the logit.
мұнда:
, функцияның орталық нүктесінің мәні;
, функция мәндерінің жоғарғы шегі;
, қисықтың логистикалық өсу жылдамдығы немесе тіктеп тұруы. -нен + дейінгі нақты сандар облысы үшін оң жақта көрсетілген S қисығы алынады, графигі -ге жақындағанда -ге, ал -ге жақындағанда нөлге жақындайды.
the recurrence relation
A logistic function or logistic curve is a common S shaped curve (sigmoid curve) with the equation
where
, the value of the function's midpoint;
, the supremum of the values of the function;
, the logistic growth rate or steepness of the curve. For values of in the domain of real numbers from to , the S curve shown on the right is obtained, with the graph of approaching as approaches and approaching zero as approaches
The logistic function finds applications in a range of fields, including biology (especially ecology), biomathematics, chemistry, demography, economics, geoscience, mathematical psychology, probability, sociology, political science, linguistics, statistics, and artificial neural networks. A generalization of the logistic function is the hyperbolastic function of type I. The standard logistic function, where , is sometimes simply called the sigmoid. It is also sometimes called the expit, being the inverse of the logit.
Логистикалық функция биология (әсіресе экология), биоматематика, химия, демография, экономика, геоғылым, математикалық психология, ықтималдықтар теориясы, социология, саясаттану, тіл білімі, статистика және жасанды нейрондық желілер сияқты салалардың көптеген түрлерінде қолданылады. Логистикалық функцияның жалпылама түрі – I типтегі гиперболалық функция. болғандағы стандартты логистикалық функция кейде жай ғана сигмоид деп аталады. Ол сондай-ақ логиттің кері функциясы болғандықтан экспит деп те аталады.
the recurrence relation
A logistic function or logistic curve is a common S shaped curve (sigmoid curve) with the equation
where
, the value of the function's midpoint;
, the supremum of the values of the function;
, the logistic growth rate or steepness of the curve. For values of in the domain of real numbers from to , the S curve shown on the right is obtained, with the graph of approaching as approaches and approaching zero as approaches
The logistic function finds applications in a range of fields, including biology (especially ecology), biomathematics, chemistry, demography, economics, geoscience, mathematical psychology, probability, sociology, political science, linguistics, statistics, and artificial neural networks. A generalization of the logistic function is the hyperbolastic function of type I. The standard logistic function, where , is sometimes simply called the sigmoid. It is also sometimes called the expit, being the inverse of the logit.
Тарих
Логистикалық функцияны Пьер Франсуа Верхулст 1838-1847 жылдар аралығында жариялаған үш мақаласында енгізді. Ол Адольф Квелеттің жетекшілігімен экспоненциалды өсу моделін түзету арқылы халық санының өсуін модельдеу үшін оны жасады. Верхулст бұл функцияны алғаш рет 1830-шы жылдардың ортасында ойлап тапты және 1838 жылы қысқаша хабарлама жариялады. Үшінші мақаласында Бельгия халқының өсу моделіндегі түзету шарттарын бейімдеді. Өсудің бастапқы кезеңі шамамен экспоненциалды (геометриялық) болады; содан кейін, қанығу басталганда, өсу сызықтық (арифметикалық) деңгейге дейін баяулайды және толыққан соң тоқтатылады. Верхулст «логистикалық» терминін неліктен таңдағанын түсіндірген жоқ, бірақ бұл логарифмдік қисыққа қарама-қарсы және арифметика мен геометрияға ұқсас болуы мүмкін. Оның өсу моделі арифметикалық және геометриялық өсу туралы талқылаудан (оның қисығын логарифмдік қисық деп атайды, қазіргі экспоненциалды қисық терминінің орнына) бұрын жасалды, сондықтан «логистикалық өсу» грек математикасының дәстүрлі бөлімі – λογῐστῐκός сөзінен шыққан аналогия бойынша аталған болуы мүмкін. Бұл термин әскери және басқарудағы логистика терминімен байланысты емес, ол «жайлар» сөзінен шыққан, бірақ кейбіреулер грек термині де логистикаға әсер еткенін айтады; толық мәліметтер үшін қараңыз.
Деривативтер
Стандартты логистикалық функцияның ең оңай есептелетін туындысы бар. Бұл туынды логистикалық үлестірілімнің тығыздығы деп аталады:
Қолданбалар
Линк Уолдтың ретті талдау теориясын кездейсоқ айнымалылардың үлестірілімге тәуелсіз жинақталуына оң немесе теріс шекті бірінші рет теңелгенге немесе асып кеткенге дейін дейін кеңейтті. Линк оң шекараға бірінші рет теңелген немесе одан асып кеткен кездегі ықтималдықты логистикалық функция ретінде есептеп шығарды. Бұл логистикалық функцияның негізінде стохастикалық процесс болуы мүмкін екендігінің алғашқы дәлелі. Линк "логистикалық" эксперименттік нәтижелердің ғасырлық мысалдарын және осы ықтималдық пен шекарадағы сіңіру уақыты арасындағы жаңадан туындаған байланысты ұсынады.
Статистика және машиналық оқытуда
Логистикалық функциялар статистикада бірнеше мақсатта қолданылады. Мысалы, олар логистикалық таралымдар отбасының жиынтық таралым функциясы болып табылады, сондай-ақ, Elo рейтингтік жүйесінде шахматшының қарсыласын жеңу ықтималдығын модельдеу үшін, біршама жеңілдетілген түрде пайдаланылады. Нақты мысалдар төменде келтірілген.
Медицинада: пандемияны модельдеу
Халықтың иммунитеті жоқ жаңа инфекциялық патоген, әдетте, ерте кезеңде экспоненциалды түрде таралады, себебі сезімтал адамдардың саны көп болады. COVID-19-ға себепші SARS CoV 2 вирусы 2020 жылдың басында бірнеше елде инфекцияның бастапқы кезеңінде экспоненциалды өсімді көрсетті. Сезімтал жандардың жетіспеуі (инфекцияның таралуы арқылы, үйіршік иммунитетіне қол жеткізілгенше) немесе физикалық қашықтық шаралары арқылы потенциалды жандарға қол жеткізудің қиындауы сияқты факторлар, эпидемиялық қисықтардың бастапқыда экспоненциалды көрінуін, содан кейін сызықтыққа өтуіне (Пьер Франсуа Верхулст алғаш атап өткендей, "логарифмдік" пен "логистикалық" арасындағы ауысуды қайталай отырып) және соңында максималды шекке жетуіне алып келуі мүмкін. Логистикалық функция немесе оған байланысты функциялар (мысалы, Гомперц функциясы) көбінесе сипаттамалық немесе феноменологиялық мақсатта қолданылады, өйткені олар пандемияның бастапқы экспоненциалды өсуіне де, халықтың үйіршік иммунитетін қалыптастыруына байланысты ақырында тепе-теңдікке жетуіне де жақсы сәйкес келеді. Бұл, пандемияның динамикасына (мысалы, байланыс деңгейі, инкубациялық кезең, әлеуметтік қашықтық және т.б.) негізделген сипаттама жасауға тырысатын пандемияның нақты модельдерінен өзгеше. Дегенмен, логистикалық шешім беретін кейбір қарапайым модельдер әзірленген.
COVID-19-ның алғашқы жағдайларын модельдеу
COVID-19 індетінің бастапқы кезеңін модельдеу үшін жалпыланған логистикалық функция, сондай-ақ Ричардс өсу қисығы қолданылған. Авторлар жалпыланған логистикалық функцияны инфекцияға шаққан жағдайлардың жиынтық санына бейімдеді, бұл жерде инфекция траекториясы деп аталады. Әдебиетте жалпыланған логистикалық функцияның әртүрлі параметрлеулері кездеседі. Көбінесе қолданылатын түрі:
мұнда – нақты сандар, ал – оң нақты сан. Қисықтың икемділігі параметріне байланысты: (i) егер , онда қисық логистикалық функцияға дейін тобыққанда, және (ii) шамаға жақындағанда қисық Гомперц функциясына жақындайды. Эпидемиологиялық модельдеуде , , және сәйкесінше эпидемияның соңғы масштабын, инфекция жылдамдығын және бастапқы кезеңін көрсетеді. Мысал ретінде, мәні белгіленгендегі инфекция траекториясын оң жақ панельде қараңыз. Эпидемиологиялық модельдеуде жалпыланған логистикалық функция сияқты өсу функциясын пайдаланудың бір артықшылығы – оны көп деңгейлі модельдік құрылымға салыстырмалы түрде оңай қолдануға болады, онда әртүрлі географиялық аймақтардан алынған мәліметтерді біріктіруге мүмкіндік бар.
One of the benefits of using a growth function such as the generalized logistic function in epidemiological modeling is its relatively easy application to the multilevel model framework, where information from different geographic regions can be pooled together.
Химияда: реакция модельдері
Автокатализдік реакциялардағы реагенттер мен өнімдердің концентрациясы логистикалық функция бойынша өзгереді. Отын жасушаларының катодтарындағы платина тобы металдарын қамтымайтын (PGM-сіз) оттегінің тотығу-тотықсыздану реакциясының (ORR) катализаторының деградациясы логистикалық төмендеу функциясына сәйкес келеді, бұл автокатализдік деградация механизмін көрсетеді.
Физикада: Ферми-Дирак үлестірімі
Логистикалық функция термиялық тепе-теңдіктегі жүйе энергия деңгейлері бойынша фермиондардың статистикалық таралуын анықтайды. Атап айтқанда, бұл Ферми-Дирак статистикасына сәйкес, әрбір мүмкін энергия деңгейінің фермионмен толу ықтималдығының таралуы болып табылады.
Оптикада: мираж
Логистикалық функция оптикада, әсіресе мираж сияқты құбылыстарды модельдеуде қолданылады. Белгілі бір жағдайларда, мысалы, диффузия немесе гравитациямен тепе-теңдік орнату салдарынан температуралық немесе концентрациялық градиент пайда болғанда, логистикалық қисық сипаттамалары пайда болуы мүмкін. Материалдың тығыздығына/концентрациясына байланысты сындыру көрсеткішін қашықтық бойынша өзгертетін температуралық градиент нәтижесінде туындайтын мираж, концентрациялық градиентке байланысты сындыру көрсеткішінің градиенті бар сұйықтық арқылы модельделуі мүмкін. Бұл механизмді шектеулі популяция өсуінің моделімен салыстыруға болады, онда концентрацияланған аймақ төмен концентрацияланған аймаққа диффузиялауға тырысады, сонымен қатар гравитациямен тепе-теңдікке ұмтылады, нәтижесінде логистикалық функция қисығы пайда болады. Бастапқыда маргиналды болатын жаңалық уақыт өте келе жылдам тарала бастайды, бірақ ол кеңінен қабылдана бастаған сайын баяулайды.
Ауыл шаруашылығында: өсімдіктердің реакциясын модельдеу
Логистикалық S қисығы өсім факторларының өзгеруіне егіннің жауабын модельдеу үшін қолданылуы мүмкін. Жауап функциясының екі түрі бар: оң және теріс өсу қисықтары. Мысалы, егін өнімділігі өсу факторының белгілі бір деңгейге дейін артуымен (оң функция) көтерілуі мүмкін, немесе өсу факторының мәні артуымен (теріс факторға байланысты теріс функция) төмендеуі мүмкін, мұндай жағдайда кері S қисығы қажет болады.
Экономика және социология саласында: инновацияларды тарату
Логистикалық функция инновацияның өмірлік циклы арқылы таралуын көрсету үшін қолданылуы мүмкін. "Еліктеу заңдары" (1890) еңбегінде Габриэль Тарде жаңа идеялардың пайда болуын және имитациялық тізбектер арқылы таралуын сипаттайды. Атап айтқанда, Тарде инновациялардың таралуының үш негізгі кезеңін анықтайды: біріншісі – идеяның қарсы әдеттер мен сенімдерге толы жауыз ортада күресуге мәжбүр болатын қиын бастамаларға сәйкес келеді; екіншісі – идеяның дұрыс экспоненциалды өрлеуіне сәйкес келеді; үшіншісі – логарифмдік, идеяның күші бірте-бірте баяулап, сонымен қатар жаңа қарсы идеялар пайда болатын кезең. Осыдан туындаған жағдай инновацияның дамуын тоқтатады немесе тұрақтандырады, ол асимптотаға жақындайды. Егемен мемлекетте аймақтық бірліктер (облыстар немесе қалалар) өз жобаларын қаржыландыру үшін қарыздарды пайдалана алады. Алайда, бұл қаржыландыру көзі әдетте қатаң заңнамалық ережелерге, сондай-ақ экономиканың шектеулі ресурстарына, әсіресе банктердің бере алатын қаражатына (олардың меншікті капиталына немесе Базель талаптарына байланысты) бағынады. Бұл шектеулер қанығу деңгейін білдіреді, ал ақша үшін экономикалық бәсекедегі экспоненциалдық өсіммен бірге несие сұраныстарының мемлекеттік қаржылық таралуын құрайды, ал ұлттық жауап сигмоид қисығын құрайды. Тарихи тұрғыдан алғанда, жаңа өнімдер енгізілген кезде сапаны күрт жақсартуға және құн төмендетуге әкелетін қарқынды зерттеулер мен әзірлемелер жүргізіледі. Бұл саланың жылдам өсуіне әкеледі. Мысалдар: теміржол, шам, электрлендіру, автомобиль және әуе көлігі. Ақырында, күрт жақсарту және құн төмендету мүмкіндіктері таусылады, өнім немесе процесс кеңінен қолданылады, жаңа клиенттердің саны азаяды және нарықтар толып кетеді. Логистикалық талдау Халықаралық қолданбалы жүйелерді талдау институтының (IIASA) бірнеше зерттеушілерінің еңбектерінде қолданылды. Бұл еңбектер әртүрлі инновациялардың таралуы, инфрақұрылымдар, энергия көздерін алмастыру және экономикадағы еңбектің рөлі, сондай-ақ ұзақ экономикалық циклдарды қарастырады. Роберт Айрес (1989) ұзақ экономикалық циклдарды зерттеді. Чезаре Маркетти ұзақ экономикалық циклдар және инновациялардың таралуы туралы жариялады. Арнульф Грюблердің (1990) кітабы каналдар, теміржолдар, автомобиль жолдары және әуе желілері сияқты инфрақұрылымдардың таралуын егжей-тегжейлі сипаттайды, олардың таралуы логистикалық қисықтарға сәйкес келетінін көрсетеді. Карлота Перес ұзақ (Кондратьев) бизнес циклін көрсету үшін логистикалық қисықты қолданды: технологиялық дәуірдің басталуы – жарылыс, өрлеу – қызу, жылдам даму – синергия және аяқталу – жетілу.