Введение

Логистическая функция или логистическая кривая – это обычная S-образная кривая (сигмоидальная кривая) с уравнением

где
, значение середины функции;
, предел значений функции;
, скорость логистического роста или крутизна кривой. Для значений в области действительных чисел от до , получается S-образная кривая, показанная справа, с графиком, стремящимся к при стремящемся к и стремящимся к нулю при стремящемся к .
Логистическая функция находит применение в различных областях, включая биологию (особенно экологию), биоматематику, химию, демографию, экономику, геонауку, математическую психологию, теорию вероятностей, социологию, политологию, лингвистику, статистику и искусственные нейронные сети. Обобщением логистической функции является гиперболастическая функция типа I. Стандартную логистическую функцию, где , иногда называют просто сигмоидой. Её также иногда называют экспонентой логита, поскольку она является обратной функцией к логиту.

История

Логистическая функция была представлена в серии из трех работ Пьера Франсуа Верхульста между 1838 и 1847 годами, где он разработал её как модель роста популяции, корректируя модель экспоненциального роста под руководством Адольфа Кетеле. Верхульст впервые сформулировал эту функцию в середине 1830-х годов, опубликовав краткую заметку в 1838 году, а в третьей работе он уточнил корректирующий член в своей модели роста населения Бельгии. Начальная фаза роста приблизительно экспоненциальна (геометрическая); затем, по мере наступления насыщения, рост замедляется до линейного (арифметического), и в конечном итоге прекращается при достижении зрелости. Верхульст не объяснил выбор термина "логистический", но, вероятно, он противопоставлен логарифмической кривой и выбран по аналогии с арифметикой и геометрией. Его модели роста предшествует обсуждение арифметического и геометрического роста (кривую которого он называет логарифмической, а не современным термином экспоненциальной), и, следовательно, "логистический рост", по-видимому, получил своё название по аналогии, от греческого λογῐστῐκός – традиционного раздела греческой математики. Этот термин не связан с военным и управленческим понятием "логистика", которое происходит от слова "жильё", хотя некоторые полагают, что греческий термин также оказал влияние на логистику; подробности см. в соответствующей статье.

Деривативные

Стандартная логистическая функция имеет легко вычисляемую производную. Эта производная известна как плотность распределения логистики.

Приложения

Линк расширил теорию последовательного анализа Вальда, применив её к накоплению случайных величин без предположений о распределении, до тех пор пока не будет впервые достигнута или превышена положительная или отрицательная граница. Линк вывел вероятность первого достижения или превышения положительной границы, которая выражается логистической функцией. Это первое доказательство того, что логистическая функция может иметь стохастический процесс в своей основе. Линк приводит примеры "логистических" экспериментальных результатов, накопленные за столетие, и новую зависимость между этой вероятностью и временем поглощения на границах.

В статистике и машинном обучении

Логистические функции используются в различных областях статистики. Например, они являются функцией кумулятивного распределения для семейства логистических распределений, а также, с некоторой упрощенностью, применяются для моделирования вероятности победы шахматиста над соперником в системе рейтинга Эло. Ниже приведены более конкретные примеры.

В медицине: моделирование пандемии

Новый инфекционный патоген, к которому у населения отсутствует иммунитет, как правило, распространяется экспоненциально на начальных этапах, пока достаточное количество восприимчивых людей. Вирус SARS-CoV-2, вызывающий COVID-19, демонстрировал экспоненциальный рост в начале распространения инфекции в нескольких странах в начале 2020 года. Факторы, такие как уменьшение числа восприимчивых людей (в результате продолжающегося распространения инфекции до достижения порога коллективного иммунитета) или снижение доступности потенциальных хозяев благодаря мерам физического дистанцирования, могут привести к тому, что экспоненциальные эпидемические кривые сначала станут линейными (повторяя переход от "логарифмического" к "логистическому", впервые отмеченный Пьером Франсуа Верхульстом, как указано выше), а затем достигнут максимального уровня. Логистическая функция или связанные с ней функции (например, функция Гомперца) обычно используются в описательном или феноменологическом смысле, поскольку они хорошо соответствуют как раннему экспоненциальному росту, так и последующему выходу пандемии на плато по мере развития коллективного иммунитета в популяции. Это отличается от фактических моделей пандемий, которые стремятся сформулировать описание, основанное на динамике пандемии (например, частоте контактов, времени инкубации, мерах социальной дистанции и т. д.). Однако были разработаны некоторые простые модели, которые приводят к логистическому решению.

Моделирование ранних случаев COVID-19

Для моделирования ранней фазы вспышки COVID-19 применяется обобщенная логистическая функция, также называемая кривой роста Ричардса. Авторы аппроксимируют обобщенную логистическую функцию к кумулятивному числу инфицированных случаев, именуемому здесь траекторией инфекции. В литературе существуют различные параметризации обобщенной логистической функции. Одной из часто используемых форм является

где – действительные числа, а – положительное действительное число. Гибкость кривой обусловлена параметром : (i) если , то кривая сводится к логистической функции, и (ii) при стремлении к нулю, кривая сходится к функции Гомперца. В эпидемиологическом моделировании , , и соответственно представляют окончательный размер эпидемии, скорость инфекции и латентный период. См. правую панель для примера траектории инфекции при значении . Одним из преимуществ использования функции роста, такой как обобщенная логистическая функция, в эпидемиологическом моделировании является ее относительно простое применение в рамках многоуровневой модели, позволяющее объединять данные из различных географических регионов.

В химии: модели реакций

Концентрация реагентов и продуктов в автокаталитических реакциях описывается логистической функцией. Деградация катализатора реакции восстановления кислорода (ОРР), не содержащего металлы платиновой группы (без ПГМ), в катодах топливных элементов подчиняется логистической функции убывания, что указывает на автокаталитический механизм деградации.

В физике: распределение Ферми-Дирака

Логистическая функция определяет статистическое распределение фермионов по энергетическим уровням системы, находящейся в тепловом равновесии. В частности, она описывает распределение вероятностей занятия каждого возможного энергетического уровня фермионом в соответствии со статистикой Ферми-Дирака.

В оптике: мираж

Логистическая функция также находит применение в оптике, в частности, при моделировании таких явлений, как миражи. При определенных условиях, таких как наличие температурного или концентрационного градиента, возникающего в результате диффузии и уравновешенного гравитацией, могут проявляться характеристики логистической кривой. Мираж, образующийся из-за температурного градиента, который изменяет показатель преломления, связанный с плотностью/концентрацией материала в зависимости от расстояния, можно смоделировать, используя жидкость с градиентом показателя преломления, обусловленным градиентом концентрации. Этот механизм аналогичен модели ограниченного роста популяции, где область с высокой концентрацией стремится к диффузии в область с низкой концентрацией, одновременно стремясь к равновесию с гравитацией, что приводит к формированию логистической кривой. Точно так же инновация, изначально незначительная, начинает распространяться быстрее со временем, а затем замедляется по мере её все более широкого распространения.

В сельском хозяйстве: моделирование реакции сельскохозяйственных культур

Логистическая S-кривая может использоваться для моделирования реакции сельскохозяйственных культур на изменения факторов роста. Существуют два типа функций отклика: кривые положительного и отрицательного роста. Например, урожайность может увеличиваться с ростом значения фактора роста до определенного уровня (положительная функция), или уменьшаться с увеличением значений фактора роста (отрицательная функция, вызванная негативным фактором роста), что требует использования перевернутой S-кривой.

В экономике и социологии: распространение инноваций

Логистическая функция может быть использована для иллюстрации прогресса распространения инновации на протяжении ее жизненного цикла. В книге «Законы подражания» (1890) Габриэль Тард описывает возникновение и распространение новых идей посредством имитационных цепочек. В частности, Тард выделяет три основных этапа, через которые распространяются инновации: первый соответствует трудным начинам, когда идея вынуждена бороться во враждебной среде, полной противоположных привычек и убеждений; второй – собственно экспоненциальному взлету идеи, с ; наконец, третий этап – логарифмический, с , и соответствует времени, когда импульс идеи постепенно замедляется, а одновременно появляются новые конкурирующие идеи. Возникшая ситуация останавливает или стабилизирует прогресс инновации, которая приближается к асимптоте. В суверенном государстве субнациональные образования (составные штаты или города) могут использовать кредиты для финансирования своих проектов. Однако этот источник финансирования обычно регулируется строгими правовыми нормами, а также ограничениями, связанными с дефицитом ресурсов, особенно с объемом кредитных средств, которые могут предоставить банки (из-за требований к капиталу или Базельских соглашений). Эти ограничения, представляющие собой уровень насыщения, в сочетании с экспоненциальным ростом конкуренции за денежные средства создают диффузию запросов на кредиты в сфере государственных финансов, а агрегированный национальный ответ принимает форму сигмоидальной кривой. Исторически, при внедрении новых продуктов наблюдается интенсивная научно-исследовательская деятельность, приводящая к значительному улучшению качества и снижению себестоимости. Это ведет к периоду быстрого роста отрасли. Среди наиболее известных примеров: железные дороги, лампы накаливания, электрификация, автомобили и авиаперевозки. В конечном итоге возможности для существенного улучшения и снижения затрат исчерпываются, продукт или процесс широко распространяются, остается мало потенциальных новых потребителей, и рынки насыщаются. Логистический анализ использовался в работах ряда исследователей Международного института прикладного системного анализа (IIASA). Эти работы посвящены распространению различных инноваций, инфраструктуры и альтернативных источников энергии, роли труда в экономике, а также долгосрочным экономическим циклам. Долговременные экономические циклы исследовались Робертом Айресом (1989). Чезаре Маркетти публиковал работы о долгосрочных экономических циклах и распространении инноваций. Книга Арнульфа Грюблера (1990) содержит подробное описание распространения инфраструктуры, включая каналы, железные дороги, автомагистрали и авиалинии, показывая, что их распространение следовало логистическим кривым. Карлота Перес использовала логистическую кривую для иллюстрации долгого (Кондратьевского) экономического цикла, обозначив следующие этапы: начало технологической эры – как прорыв, восхождение – как ажиотаж, быстрое развитие – как синергию, а завершение – как зрелость.