Введение
Полиэдр с 12 гранями
+ Общий додекаэдр, порядок 120Регулярный Малый звёздчатый Большой звёздчатый Большой звёздчатый T, порядок 24T, порядок 12O, порядок 48Джонсон (J) ПиритоэдрТетартоидРомбический Треугольный D, порядок 16D, порядок 12Ромбогексаэдрический Ромбический квадрат Трапециевидный ромбический Ромбический треугольный
В геометрии, додекаэдр (; ) или двенадцатигранник – любой полиэдр с двенадцатью плоскими гранями. Наиболее известный додекаэдр – правильный додекаэдр с правильными пятиугольниками в качестве граней, являющийся платоновым телом. Существуют также три правильных звёздных додекаэдра, построенные как звёздные формы выпуклой формы. Все они обладают икосаэдрической симметрией, порядок 120. Некоторые додекаэдры имеют ту же комбинаторную структуру, что и правильный додекаэдр (с точки зрения графа, образованного его вершинами и рёбрами), но их пятиугольные грани не являются правильными: пиритоэдр, распространённая кристаллическая форма пирита, обладает пиритоэдрической симметрией, в то время как тетартоид – тетраэдрической симметрией. Ромбический додекаэдр можно рассматривать как предельный случай пиритоэдра, и он обладает октаэдрической симметрией. Удлинённый додекаэдр и трапециевидные ромбические додекаэдры, наряду с ромбическими додекаэдрами, заполняют пространство. Существует множество других додекаэдров. В то время как правильный додекаэдр имеет много общих черт с другими платоновыми телами, одно уникальное свойство заключается в том, что можно начать с угла поверхности и провести бесконечное количество прямых линий по фигуре, которые вернутся в исходную точку, не пересекая другие углы.
The pyritohedron, a common crystal form in pyrite, has pyritohedral symmetry, while the tetartoid has tetrahedral symmetry. The rhombic dodecahedron can be seen as a limiting case of the pyritohedron, and it has octahedral symmetry. The elongated dodecahedron and trapezo rhombic dodecahedron variations, along with the rhombic dodecahedra, are space filling. There are numerous other dodecahedra. While the regular dodecahedron shares many features with other Platonic solids, one unique property of it is that one can start at a corner of the surface and draw an infinite number of straight lines across the figure that return to the original point without crossing over any other corner.
Пиритоэдр
Пиритоэдр (см. здесь для вращающейся модели.) Грани многоугольные пятиугольники, равнобедренные Диаграммы Коксетера Грани12 Рёбра30 (6 + 24) Вершины20 (8 + 12) Группа симметрииTh, [4,3+], (3*2), порядок 24 Группа вращенияT, [3,3]+, (332), порядок 12 Двойственный полиэдр Псевдоикозаэдр Свойства грани-транзитивные Развёртка Пиритоэдр — это додекаэдр с пиритоэдровой (Th) симметрией. Как и правильный додекаэдр, он имеет двенадцать одинаковых пятиугольных граней, по три из которых сходятся в каждой из 20 вершин (см. рисунок). Однако пятиугольники не обязаны быть правильными, и лежащая в основе атомная структура не имеет истинной пятикратной оси симметрии. Его 30 рёбер разделены на два набора, содержащих 24 и 6 рёбер одинаковой длины. Единственными осями вращательной симметрии являются три взаимно перпендикулярные двукратные оси и четыре тройные оси. Хотя правильные додекаэдры не встречаются в кристаллах, форма пиритоэдра встречается в кристаллах минерала пирит и могла послужить вдохновением для открытия правильной платоновой формы. Истинный правильный додекаэдр может существовать в форме квазикристаллов (например, квазикристалла гольмий-магний-цинк) с икосаэдрической симметрией, которая включает в себя истинные пятикратные оси вращения.
A pyritohedron is a dodecahedron with pyritohedral (Th) symmetry. Like the regular dodecahedron, it has twelve identical pentagonal faces, with three meeting in each of the 20 vertices (see figure). However, the pentagons are not constrained to be regular, and the underlying atomic arrangement has no true fivefold symmetry axis. Its 30 edges are divided into two sets – containing 24 and 6 edges of the same length. The only axes of rotational symmetry are three mutually perpendicular twofold axes and four threefold axes. Although regular dodecahedra do not exist in crystals, the pyritohedron form occurs in the crystals of the mineral pyrite, and it may be an inspiration for the discovery of the regular Platonic solid form. The true regular dodecahedron can occur as a shape for quasicrystals (such as holmium–magnesium–zinc quasicrystal) with icosahedral symmetry, which includes true fivefold rotation axes.
Кристальный пирит
Название "кристалл пирит" происходит от одной из двух типичных форм кристаллов, демонстрируемых пиритом (другая – куб). В пиритоэдрическом пирите грани имеют индекс Миллера (210), что означает, что двугранный угол составляет 2·arctan(2) ≈ 126,87°, а каждая пятиугольная грань имеет один угол приблизительно 121,6° между двумя углами приблизительно 106,6° и двумя противоположными углами приблизительно 102,6°. Следующие формулы показывают измерения для грани идеального кристалла (который редко встречается в природе).
Геометрическая свобода
Пиритоэдр обладает геометрической степенью свободы, с предельными случаями кубической выпуклой оболочки при одном пределе коллинеарных рёбер и ромбического додекаэдра – как другого предела, когда 6 рёбер вырождаются до нулевой длины. Правильный додекаэдр представляет собой особый промежуточный случай, когда все рёбра и углы равны. Возможно преодолеть эти предельные случаи, создавая вогнутые или невыпуклые пиритоэдры. Эндододекаэдр вогнут и равносторонний; он может тесселировать пространство вместе с выпуклым правильным додекаэдром. Продолжая в этом направлении, мы проходим через вырожденный случай, когда двенадцать вершин совпадают в центре, и далее к правильному большому звёздному додекаэдру, где все рёбра и углы снова равны, а грани искажены в правильные пентаграммы. С другой стороны, за ромбическим додекаэдром мы получаем невыпуклый равносторонний додекаэдр с рыбьеголовками – самопересекающимися равносторонними пятиугольными гранями. Особые случаи пиритоэдров: версии с одинаковыми абсолютными значениями и противоположными знаками образуют соты. (Сравните эту анимацию.) Показанное соотношение – это соотношение длин рёбер, а именно тех, что в наборе из 24 (касающихся вершин куба), к тем, что в наборе из 6 (соответствующих граням куба). Соотношение 1 : 10 : 11 : 12 : 11 : 10 : 11 : 1 h − −1 0 1 −1.618 −0.618 0.618 1.618 Изображение: Правильная звезда, большой звёздчатый додекаэдр с правильными пентаграммами в качестве граней. Вырожденный случай: 12 вершин в центре. Вогнутый равносторонний додекаэдр, называемый эндододекаэдром. Куб можно разделить на пиритоэдр, рассекая все рёбра и грани в альтернативных направлениях. Правильный додекаэдр – это промежуточный случай с равной длиной рёбер. Ромбический додекаэдр – это вырожденный случай, когда 6 рёбер сведены к нулевой длине. Самопересекающийся равносторонний додекаэдр.
Тетартоидный
ТетартоидТетрагональный пятиугольный додекаэдр (см. здесь для вращающейся модели.) Полигон грани неправильный пятиугольникОбозначение Конвея gTFaces12Edges30 (6+12+12)Vertices20 (4+4+12)Группа симметрии T, [3,3]+, (332), порядок 12Свойства выпуклый, транзитивный по граням
A tetartoid (also tetragonal pentagonal dodecahedron, pentagon tritetrahedron, and tetrahedric pentagon dodecahedron) is a dodecahedron with chiral tetrahedral symmetry (T). Like the regular dodecahedron, it has twelve identical pentagonal faces, with three meeting in each of the 20 vertices. However, the pentagons are not regular and the figure has no fivefold symmetry axes. Although regular dodecahedra do not exist in crystals, the tetartoid form does. The name tetartoid comes from the Greek root for one fourth because it has one fourth of full octahedral symmetry, and half of pyritohedral symmetry. The mineral cobaltite can have this symmetry form. Abstractions sharing the solid's topology and symmetry can be created from the cube and the tetrahedron. In the cube each face is bisected by a slanted edge. In the tetrahedron each edge is trisected, and each of the new vertices connected to a face center. (In Conway polyhedron notation this is a gyro tetrahedron.) Relationship to the dyakis dodecahedronA tetartoid can be created by enlarging 12 of the 24 faces of a dyakis dodecahedron. (The tetartoid shown here is based on one that is itself created by enlarging 24 of the 48 faces of the disdyakis dodecahedron.) The crystal model on the right shows a tetartoid created by enlarging the blue faces of the dyakis dodecahedral core. Therefore, the edges between the blue faces are covered by the red skeleton edges.
Тетартоид (также тетрагональный пятиугольный додекаэдр, пятиугольный тритетраэдр и тетраэдрический пятиугольный додекаэдр) — это додекаэдр с хиральной тетраэдрической симметрией (T). Как и правильный додекаэдр, он имеет двенадцать одинаковых пятиугольных граней, по три из которых сходятся в каждой из 20 вершин. Однако пятиугольники не являются правильными, и фигура не имеет пятикратных осей симметрии. Хотя правильные додекаэдры не встречаются в кристаллах, тетартоидная форма существует. Название «тетартоид» происходит от греческого корня, означающего «одна четверть», поскольку он обладает одной четвертью полной октаэдрической симметрии и половиной пиритоэдрической симметрии. Минерал кобальтит может иметь эту форму симметрии. Абстракции, разделяющие топологию и симметрию этого тела, могут быть созданы из куба и тетраэдра. В кубе каждая грань рассекается наклонным ребром. В тетраэдре каждое ребро трисектируется, и каждая из новых вершин соединяется с центром грани. (В обозначении многогранников Конвея это гиротетраэдр.) Связь с дикис-додекаэдром
A tetartoid (also tetragonal pentagonal dodecahedron, pentagon tritetrahedron, and tetrahedric pentagon dodecahedron) is a dodecahedron with chiral tetrahedral symmetry (T). Like the regular dodecahedron, it has twelve identical pentagonal faces, with three meeting in each of the 20 vertices. However, the pentagons are not regular and the figure has no fivefold symmetry axes. Although regular dodecahedra do not exist in crystals, the tetartoid form does. The name tetartoid comes from the Greek root for one fourth because it has one fourth of full octahedral symmetry, and half of pyritohedral symmetry. The mineral cobaltite can have this symmetry form. Abstractions sharing the solid's topology and symmetry can be created from the cube and the tetrahedron. In the cube each face is bisected by a slanted edge. In the tetrahedron each edge is trisected, and each of the new vertices connected to a face center. (In Conway polyhedron notation this is a gyro tetrahedron.) Relationship to the dyakis dodecahedronA tetartoid can be created by enlarging 12 of the 24 faces of a dyakis dodecahedron. (The tetartoid shown here is based on one that is itself created by enlarging 24 of the 48 faces of the disdyakis dodecahedron.) The crystal model on the right shows a tetartoid created by enlarging the blue faces of the dyakis dodecahedral core. Therefore, the edges between the blue faces are covered by the red skeleton edges.
Тетартоид можно создать, увеличив 12 из 24 граней дикис-додекаэдра. (Тетартоид, изображенный здесь, основан на тетартоиде, который сам был создан путем увеличения 24 из 48 граней дисдикис-додекаэдра.) Кристаллическая модель справа показывает тетартоид, созданный путем увеличения синих граней ядра дикис-додекаэдра. Следовательно, ребра между синими гранями покрыты красными ребрами скелета.
A tetartoid (also tetragonal pentagonal dodecahedron, pentagon tritetrahedron, and tetrahedric pentagon dodecahedron) is a dodecahedron with chiral tetrahedral symmetry (T). Like the regular dodecahedron, it has twelve identical pentagonal faces, with three meeting in each of the 20 vertices. However, the pentagons are not regular and the figure has no fivefold symmetry axes. Although regular dodecahedra do not exist in crystals, the tetartoid form does. The name tetartoid comes from the Greek root for one fourth because it has one fourth of full octahedral symmetry, and half of pyritohedral symmetry. The mineral cobaltite can have this symmetry form. Abstractions sharing the solid's topology and symmetry can be created from the cube and the tetrahedron. In the cube each face is bisected by a slanted edge. In the tetrahedron each edge is trisected, and each of the new vertices connected to a face center. (In Conway polyhedron notation this is a gyro tetrahedron.) Relationship to the dyakis dodecahedronA tetartoid can be created by enlarging 12 of the 24 faces of a dyakis dodecahedron. (The tetartoid shown here is based on one that is itself created by enlarging 24 of the 48 faces of the disdyakis dodecahedron.) The crystal model on the right shows a tetartoid created by enlarging the blue faces of the dyakis dodecahedral core. Therefore, the edges between the blue faces are covered by the red skeleton edges.
Двойной треугольный гиробиантикюпол
Нижняя форма симметрии правильного додекаэдра может быть построена как двойственная к многограннику, образованному соединением основанием к основанию двух треугольных антикуполов, называемому треугольной гиробиантикуполой. Она обладает симметрией D3d, порядок которой равен 12. У неё есть 2 набора по 3 идентичных пятиугольника на верхней и нижней гранях, соединенных 6 пятиугольниками по бокам, которые чередуются направлением вверх и вниз. Эта форма имеет шестиугольное поперечное сечение, и её идентичные копии могут быть соединены в частичный шестиугольный сотовый узор, однако не все вершины будут совпадать.
Ромбический додекаэдр
Ромбический додекаэдр — это зоноэдр с двенадцатью ромбическими гранями и октаэдрической симметрией. Он двойственен квазиправильному кубоктаэдру (архимедово тело) и встречается в природе в виде кристаллической формы. Ромбические додекаэдры плотно укладываются, заполняя пространство. Ромбический додекаэдр можно рассматривать как вырожденный пиритоэдр, в котором 6 особых рёбер сведены к нулевой длине, превращая пятиугольники в ромбические грани. Ромбический додекаэдр имеет несколько звездчатых форм, первая из которых также является параллелоэдрическим заполнителем пространства. Другой важный ромбический додекаэдр, додекаэдр Билинского, имеет двенадцать граней, конгруэнтных граням ромбического триаконтаэдра, то есть диагонали находятся в отношении золотого сечения. Это также зоноэдр, описанный Билинским в 1960 году. Эта фигура является ещё одним заполнителем пространства и может также встречаться в непериодических заполнениях пространства вместе с ромбическим триаконтаэдром, ромбическим икосаэдром и ромбическими гексаэдрами.
Практическое применение
Арманд Шпиц использовал додекаэдр в качестве эквивалента земному шару в своем планетарии Digital Dome, по предложению Альберта Эйнштейна.