Кіріспе
Алгебрада, идеалдың белгілі бір типтегі идеалдардың қиылысы ретінде жазылуы. Математикада Ласкер-Нётер теоремасы әрбір Нотер сақинасы Ласкер сақинасы екенін көрсетеді, яғни әрбір идеалды бастапқы бөлшектеу деп аталатын, шекті көптеген бастапқы идеалдардың қиылысы ретінде жіктеуге болады (бұл идеалдар жай идеалдардың дәрежелерімен байланысты, бірақ толыққанды бірдей емес). Теорема алғаш рет полиномдық сақиналар және конвергентті қуат қатарлары сақиналарының ерекше жағдайы үшін дәлелденді, ал толық жалпылығында Ласкер-Нётер теоремасы арифметиканың негізгі теоремасының және жалпы алғанда, шекті жасалған абельдік топтардың негізгі теоремасының Нотер сақиналарына кеңейтілуі болып табылады. Теорема алгебралық геометрияда маңызды рөл атқарады, себебі ол әрбір алгебралық жиынтықтың бірегей түрде шекті қайталанбайтын компоненттердің жиынына жіктелетінін көрсетеді. Бұл теорема модульдерге де оңай кеңейтіледі, яғни Нотер сақинасы үстіндегі шекті жасалған модульдің кез келген субмодулі бастапқы субмодульдердің шекті қиылысы болып табылады. Бұл сақиналарды өзінің үстіндегі модульдер ретінде қарастырғанда, идеалдар субмодульдер ретінде қарастырылатындықтан, сақиналар үшін де қолданылады. Бұл сондай-ақ негізгі идеалдық домендегі шекті жасалған модульдер үшін құрылым теоремасының бастапқы жіктелу түрін де жалпылайды, ал полиномдық сақиналардың ерекше жағдайы үшін алгебралық жиынның (қайталанбайтын) сорттардың шекті жиынына жіктелуін жалпылайды. Характері 0 болатын өріс үстіндегі полиномдық сақиналар үшін бастапқы жіктемелерді есептеуге арналған алғашқы алгоритмді Нётердің шәкірті жариялаған. Алайда, жалпы жағдайда, бұл жіктелу коммутативті емес Нотер сақиналары үшін жарамсыз. Нётер коммутативті емес Нотер сақинасының оң идеалға мысалын келтірді, ол бастапқы идеалдардың қиылысы емес.
In mathematics, the Lasker–Noether theorem states that every Noetherian ring is a Lasker ring, which means that every ideal can be decomposed as an intersection, called primary decomposition, of finitely many primary ideals (which are related to, but not quite the same as, powers of prime ideals). The theorem was first proven by for the special case of polynomial rings and convergent power series rings, and was proven in its full generality by
The Lasker–Noether theorem is an extension of the fundamental theorem of arithmetic, and more generally the fundamental theorem of finitely generated abelian groups to all Noetherian rings. The theorem plays an important role in algebraic geometry, by asserting that every algebraic set may be uniquely decomposed into a finite union of irreducible components. It has a straightforward extension to modules stating that every submodule of a finitely generated module over a Noetherian ring is a finite intersection of primary submodules. This contains the case for rings as a special case, considering the ring as a module over itself, so that ideals are submodules. This also generalizes the primary decomposition form of the structure theorem for finitely generated modules over a principal ideal domain, and for the special case of polynomial rings over a field, it generalizes the decomposition of an algebraic set into a finite union of (irreducible) varieties. The first algorithm for computing primary decompositions for polynomial rings over a field of characteristic 0 was published by Noether's student The decomposition does not hold in general for non commutative Noetherian rings. Noether gave an example of a non commutative Noetherian ring with a right ideal that is not an intersection of primary ideals.
Мысалдар
Бөлімдегі мысалдар бастапқы ыдыраудың кейбір қасиеттерін түсіндіру үшін жасалған, олар таңқаларлық немесе интуицияға қайшы болып көрінуі мүмкін. Барлық мысалдар k өрісіндегі полиномдық сақинадағы идеалдар болып табылады.
Негізгі және негізгі қуат
Ідеал - бастапқы идеал, онда байланысты жай сан бар. Бұл оның байланысқан жай санының дәрежесі емес.
Қатысқан алғашқы сандардан бастауыш бөлшектеу
Қазіргі кезде, ассоциацияланған алғашқы сандар теориясы бойынша идеалдар мен модульдердің бастапқы ыдырауын жасау кең таралған. Bourbaki-дің ықпалды Algèbre commutative оқулығы, әсіресе, осы тәсілді қолданады. R – сақина, M – оның үстіндегі модуль болсын. Анықтама бойынша, ассоциацияланған алғашқы сан – M-нің нөлден өзге элементінің жойғышы болып табылатын алғашқы идеал; яғни, кейбір (бұл дегеніміз) үшін. Балама түрінде, егер R модульдерінің инъекциясы болса, онда алғашқы идеал M-нің ассоциацияланған алғашқы саны болып табылады. M-нің нөлден өзге элементтерінің жойғыштары жиынының максималды элементі алғашқы идеал болып табылады, сондықтан R – Ноэтерлік сақина болған жағдайда, M-нің ассоциацияланған алғашқы саны бар егер және тек қана M нөлден өзге болса. M-нің ассоциацияланған алғашқы сандары жиыны немесе арқылы белгіленеді. Тікелей анықтамасы бойынша, егер , онда. Дәл тізбек үшін , егер R – Ноэтерлік сақина болса, онда , мұндағы – қолдау. Сонымен қатар, жиынының минималды элементтері жиыны, жиынының минималды элементтері жиынымен бірдей. М-нің әрбір ассоциацияланған алғашқы саны алғашқы сандар жиынында кездеседі; яғни (жалпы жағдайда, бұл кіріктірулер теңдіктер емес). Атап айтқанда, M шекті түрде туындаған болса, онда – шекті жиынтық. R – Ноэтерлік сақина болсын және N – M-нің субмодулі болсын. Берілген , ассоциацияланған алғашқы сандар жиыны үшін, және болатын N субмодулі бар.
A maximal element of the set of annihilators of nonzero elements of M can be shown to be a prime ideal and thus, when R is a Noetherian ring, there exists an associated prime of M if and only if M is nonzero. The set of associated primes of M is denoted by or Directly from the definition,
If , then For an exact sequence , If R is a Noetherian ring, then where refers to support. Also, the set of minimal elements of is the same as the set of minimal elements of Moreover every associated prime of M occurs among the set of primes ; i. e., (In general, these inclusions are not the equalities.) In particular, is a finite set when M is finitely generated. Let be a finitely generated module over a Noetherian ring R and N a submodule of M. Given , the set of associated primes of , there exist submodules such that and
M-нің субмодулі N бастапқы деп аталады, егер . R модулі R-дің субмодулі бастапқы болып табылады, егер ол бастапқы идеал болса; сондықтан, болған жағдайда, жоғарыдағы ыдырау идеалдың бастапқы ыдырауы болып табылады. болған жағдайда, жоғарыдағы ыдырау, шекті түрде туындаған модульдің M ассоциацияланған алғашқы сандары жиыны -мен бірдей екенін көрсетеді (шексіз түрде туындаған жағдайда, шексіз көп ассоциацияланған алғашқы сандар болуы мүмкін).
Қатысқан алғашқы сандардың қасиеттері
Бұл Ноэтериан сақина болсын. R-дегі нөлдік бөлгіштер жиыны R-дің байланысқан алғашқы идеалдарының бірігуімен бірдей (мұның себебі R-дің нөлдік бөлгіштерінің жиыны нөлдік емес элементтердің жойғыштары жиынының бірігуі, ал олардың максималды элементтері байланысқан алғашқы идеалдар болып табылады). Осы себепті, R модулі M-нің байланысқан алғашқы идеалдарының бірігуі M-дегі нөлдік бөлгіштер жиынымен дәл келеді, яғни, эндоморфизм инъективті емес r элементі. Берілген ішкі жиын , M – R модулі болсын, онда осындай ішкі модуль бар және . - көбейтуші ішкі жиын, – модуль және – қиылыспайтын барлық алғашқы идеалдар жиыны болсын. Содан кейін – биекция. Сондай-ақ, идеалды қамтитын жағынан ең кішкентай болған кез келген алғашқы идеал J, -де болады. Бұл алғашқы идеалдар оқшауланған алғашқы идеалдар болып табылады. R үстіндегі M модулінің шекті ұзындығы бар егер және тек қана M шекті түрде туындаған және максималды идеалдардан тұрса. Ноэтериан сақиналары арасындағы сақина гомоморфизмі болсын және F – A үстінен жазық B модулі. Содан кейін, әрбір A модулі E үшін, .
The set of zero divisors on R is the same as the union of the associated primes of R (this is because the set of zerodivisors of R is the union of the set of annihilators of nonzero elements, the maximal elements of which are associated primes). For the same reason, the union of the associated primes of an R module M is exactly the set of zero divisors on M, that is, an element r such that the endomorphism is not injective. Given a subset , M an R module , there exists a submodule such that and Let be a multiplicative subset, an module and the set of all prime ideals of not intersecting Then is a bijection. Also, Any prime ideal minimal with respect to containing an ideal J is in These primes are precisely the isolated primes. A module M over R has finite length if and only if M is finitely generated and consists of maximal ideals. Let be a ring homomorphism between Noetherian rings and F a B module that is flat over A. Then, for each A module E,
.
Ноэтериандық емес жағдай
Келесі теорема сақинаның идеалдары үшін бастапқы жіктелулердің болуы үшін қажетті және жеткілікті шарттарды келтіреді. Дәлел Атия-Макдональд кітабының 4-тарауында жаттығулар сериясы түрінде берілген. Бастапқы жіктелуі бар идеал үшін келесідей бірегейлік теоремасы бар. Енді, кез келген коммутативті R сақинасы, I идеалы және I-ге қатысты минималды жай P үшін, I RP-нің локализациялау картасы бойынша кері бейнесі I-ді қамтитын ең кіші P-негізгі идеал болып табылады. Осылайша, алдыңғы теоремада қарастырылған жағдайда, минималды жай P-ге сәйкес келетін P-негізгі идеал Q, сонымен қатар I-ді қамтитын ең кіші P-негізгі идеал болып табылады және I-нің P-негізгі компоненті деп аталады. Мысалы, егер жай P-нің Pn дәрежесі бастапқы жіктелуге ие болса, онда оның P-негізгі компоненті P-нің n-ші символдық дәрежесі болады.
Идеалдардың аддитивті теориясы
Бұл нәтиже қазіргі кезде идеалдардың аддитивті теориясы деп аталатын саладағы алғашқы нәтиже болып табылады, ол идеалды идеалдардың белгілі бір класының қиылысы ретінде көрсету тәсілдерін зерттейді. "Белгілі бір класты" таңдау мәселесі, мысалы, негізгі идеалдар, өзіндік проблема болып табылады. Коммутативті емес сақиналар жағдайында үшінші дәрежелі идеалдар класы негізгі идеалдар класының орнына қолданылады.